Question

函数可导性与连续性的关系

Answer 1

函数的可导性与连续性的关系：可导一定连续，连续不一定可导。

连续是可导的必要条件，但不是充分条件，由可导可推出连续，由连续不可以推出可导。可以说：因为可导，所以连续。不能说：因为连续，所以可导。

先看几个定义：

1、连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x0时limf(x)=f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。

2、一个推论，即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。

这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：

1、函数在x0 处有定义；

2、x-> x0时，limf(x)存在；

3、x-> x0时，limf(x)=f(x0)。

初等函数在其定义域内是连续的。

1、连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。

2、连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可 导；连续不一定可导。典型例子：含尖点的连续函数。