级数∑1/n,n=1,2,……是发散的吗?
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“级数∑1/n,n=1,2,……,∞”是发散的。其证明过程可以是,
∵∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+……=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+……+1/8)+(1/9+……+1/16)+(1/17+……+1/32)+……>1+1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)+16(1/32)……=1+m/2+……,
当n→∞时,m→∞,1+m/2→∞发散。∴级数∑1/n发散。
扩展资料
19世纪前,欧拉以及其他数学家广泛地应用发散级数,但经常引出令人困惑与矛盾的结果。其中,主要的问题是欧拉的思想,即每个发散级数都应有一个自然的和,而无需事先定义发散级数的和的含义。柯西最终给出了(收敛)级数的和的严格定义,从这过后的一段时间,发散级数基本被排除在数学之外了。
直到1886年,它们才在庞加莱关于渐进级数的工作中再次出现。在1890年,切萨罗意识到可以对一类发散级数的和给出严格定义,从而定义了切萨罗和。
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