Question

大学高等代数题！

用配方法将二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+2x2^2-4x1x2-4x2x3化为标准型。 注：^2为平方

Answer 1

化二次型为标准型

化二次型为标准型

1．正交变换法
定理
任一实二次型，都可以经过一个正交变换化成标准形。

其中是f的矩阵A的特征值。
用正交变换化二次型为标准形的步骤：
（1）将二次型f写成矩阵形式，求出f的矩阵A；
（2）求A的全部特征值；
（3）对每一个特征值，求出对应的线性无关的特征向量，并将其正交化、标准化，得标准正交向量组，写出正交变换矩阵；
（4）验证
；

（5）写出f的标准型。
2．配方法
用配方法化二次型为标准形的步骤：
（1）利用公式把二次型各项配成完全平方。
若(i=1,2,……,n) 不全为0，则首先把含的各项集中在一起，配成完全平方，然后对后面的各项按同样的方法配成完全平方，直至所有各项均配成完全平方为止。若(i=1,2,……,n)全为0，而，则先作变换

k=1,2,……,n)
把原二次型化成含有平方项的二次型，再按上述方法进行配方；
（2）令各平方下的一次式分别为，将二次型化为平方和；
（3）求变换矩阵 C：。
3．初等变换法
将A与E列对齐，构造一个阶矩阵

对A施以初等行变换，对

施以完全同样的初等列变换，逐步化为