Question

一道数学问题

已知三角形ABC，AB边长为c，AC边长为b，BC边长为a，三角形内一点P到BC，AC，AB三边的距离分别为d1,d2,d3,三角形面积为S，求证：
a ∕d1+b∕d2+c∕d3》=（a+b+c)^2/2S

Answer 1

证明：令S1＝1/2ad1 S2=1/2bd2 S3=1/2cd3 故：S＝S1＋S2＋S3
故：a ∕d1+b∕d2+c∕d3＝a²/(2S1)+ b²/(2S2)+ c²/(2S3)
故：a ∕d1+b∕d2+c∕d3-（a+b+c) ²/(2S)＝a²/(2S1)+ b²/(2S2)+ c²/(2S3)-（a+b+c) ²/[2(S1＋S2＋S3)]
=[S2•S3•(S1＋S2＋S3)•a²+ S1•S3•(S1＋S2＋S3)•b²+ S1•S2•(S1＋S2＋S3)•c²-S1•S2•S3•（a+b+c) ²）/[2 S1•S2•S3•(S1＋S2＋S3)]
=[(S2) ²•S3•a²+S2•(S3) ²•a²+(S1) ²•S3•b²+S1•(S3) ²•b²+(S1) ²•S2•c²+S1•(S2) ²•c²-2ab•S1•S2•S3-2bc•S1•S2•S3-2ac•S1•S2•S3]/ [2 S1•S2•S3•(S1＋S2＋S3)]
因为：(S2) ²•S3•a²＋(S1) ²•S3•b²≥2√[(S2) ²•S3•a²•(S1) ²•S3•b²]＝2ab•S1•S2•S3
S2•(S3) ²•a²+(S1) ²•S2•c²≥2√[S2•(S3) ²•a²•(S1) ²•S2•c²]＝2ac•S1•S2•S3
S1•(S3) ²•b²+ S1•(S2) ²•c²≥2√[S1•(S3) ²•b²•S1•(S2) ²•c²]＝2bc•S1•S2•S3
故：[(S2) ²•S3•a²+S2•(S3) ²•a²+(S1) ²•S3•b²+S1•(S3) ²•b²+(S1) ²•S2•c²+S1•(S2) ²•c²-2ab•S1•S2•S3-2bc•S1•S2•S3-2ac•S1•S2•S3] ≥0
故：a ∕d1+b∕d2+c∕d3-（a+b+c) ²/(2S) ≥0
即：a ∕d1+b∕d2+c∕d3》=（a+b+c) ²/2S
（用到的公式：a²+ b²≥2ab，因为（a-b）²≥0可以证明）