Question

根号下1- x^2的积分如何求解？

Answer 1

根号下1-x^2的积分可以通过三角代换来求解。
我们可以使用sin(theta) = x进行代换，其中0 <= theta <= (pi/2)。
根据三角恒等式sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1，我们可以得到cos(theta) = sqrt(1 - sin^2(theta))。
接下来，我们需要计算dx。根据sin(theta) = x，我们可以得到cos(theta)d(theta) = dx。
将代换项代入原积分中，得到：
∫ sqrt(1 - x^2) dx = ∫ sqrt(1 - sin^2(theta)) * cos(theta) d(theta)
= ∫ sqrt(cos^2(theta)) * cos(theta) d(theta)
= ∫ cos^2(theta) d(theta)
根据cos^2(theta) = (1 + cos(2theta)) / 2，我们可以继续化简得到：
= ∫ (1 + cos(2theta)) / 2 d(theta)
= (1/2)∫ (1 + cos(2theta)) d(theta)
= (1/2)[∫ d(theta) + ∫ cos(2theta) d(theta)]
= (1/2)(theta + (1/2)sin(2theta)) + C
最后再将theta代换回x，得到最终的积分结果：
∫ sqrt(1 - x^2) dx = (1/2)(arcsin(x) + x√(1 - x^2)) + C
其中C为积分常数。

Answer 2

方法如下，请作参考：

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