Question

为什么sin(x)小于x

Answer 1

对于正实数 x，当 x 处于 0 和 π/2 之间时，sin(x) 的值小于 x。这可以通过几何和代数的角度来解释。
几何解释：我们可以考虑单位圆上的一个角θ，它的弧长等于θ的值，即θ的度量单位是弧度。可以观察到，在单位圆上，sin(θ) 的值就是角θ与 y 轴正方向之间的纵坐标。当θ小于π/2时，即角θ对应的点位于单位圆的第一象限内，那么这个纵坐标就是θ，而θ的弧长恰好等于它的值。而随着θ的增大，这个纵坐标会逐渐减小，不再等于θ。因此，sin(θ) 在 0 和 π/2 之间是小于θ的。
代数解释：我们可以利用泰勒级数展开来证明这一点。sin(x) 的泰勒级数展开式为 sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...。当 x 是一个正实数且趋近于 0 时，我们只保留这个级数展开的第一项 x。所以在小的范围内，sin(x) 可以近似为 x，因此 sin(x) 小于 x。
需要注意的是，这个结论只在给定条件下成立，即对于正实数和在 0 和 π/2 之间的角度。在其他范围，如负实数、大于π/2 的角度等，sin(x) 的行为是不同的。