Question

一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中一个高为X的内接圆柱,求圆柱的侧面积,及最大值

Answer 1

轴截面如图。易得ΔVEF∽ΔVAB,所以EF/AB=VG/VO,这里EF为圆柱底面直径，AB为圆锥底面直径2R，VO=H,VG=H-x

 所以EF/2R=(H-x)/H,由此得，EF＝2R(H-x)/H

 所以圆柱侧面积＝〔2R(H-x)/H]*π*x

 以下对上式化简，再利用二次函数求最大值。

Answer 2

解：设圆柱底面半径为r
利用轴截面中的相似
得r/R=(H-x）/H
则r=R(H-x）/H
所以圆柱的侧面积
s=2πr*x
=[R(H-x）/H]*x
=Rx(H-x）/H
=R{√[x(H-x）]}²/H
≤R[（x+H-x)/2]²/H
=HR/4
当且仅当x=H-x，即x=H/2时取等号，有最大值HR/4

所以圆柱的侧面积是Rx(H-x）/H，
当x=H-x，圆柱的侧面积有最大值HR/4