Question

x^2-ax+a^2-1=0有一个根大于0且小于1,则a的取值范围是？

已知关于x的一元二次方程，x^2-ax+a^2-1=0有一个根大于0且小于1，求a的取值范围。
有人算出来是-1<a<0或1<a<=（小于等于）2倍根号3\3（及供参考）
希望能有朋友算出一个准确的答案，谢谢啦！

Answer 1

因为判别式=a^2-4(a^2-1)=4-3a^2
1)当两根都在（0，1）上时则
0〈a/2〈1 ①
a^2-1>0 ②
1-a+a^2-1>0 ③
4-3a^2≥0 ④
解上述不等式组得:1<a≤2√3/3
2)当只有一个根在(0,1)上时则
(a^2-1)(1-a+a^2-1)<0
解得:-1<a<0
综上所述得1<a≤2√3/3或-1<a<0

Answer 2

这个问题可以通过函数的连续性和单调性来解决。

f(x)=x^2-ax+a^2-1

f(0)=a^2-1
f(1)=a^2-a

f(0)>0，f(1)<0
或f(0)<0,f(1)>0
因为f(x)在R上连续，一定可以满足x在（0，1）存在一点，使得f（x)=0

如果f(0)>0,f(1)>0,则需要f(x)在顶点的值小于0，即f(a/2)<0，且0<a/2<1,即0<a<2

如果f(0)<0,f(1)<0，因为f(x)开口向上，则（0，1）上无解

依照上述思路
f(0)>0，f(1)<0，无解
f(0)<0,f(1)>0时，解为a^2-1<0,a(a-1)>0
-1<a<0

f(0)>0,f(1)>0，f(a/2)<0，则

a>1或a<-1,且f(a/2)=3/4a^2-1<=0,且0<a<2

1<a<=2/3根号3满足要求

综上所述，-1<a<0,或1<a<=2/3根号3，

Answer 3

构造一个函数f(x)=x²-ax+a²-1
f(x)与x轴在区间(0,1)上有至少一个交点
△=a²-4(a²-1)=4-3a²
当△=0即a=±2√3/3时，顶点(a/2,0)须在在区间(0,1)内，所以a=2√3/3
当△>0时即a∈(-2√3/3,2√3/3)时，有下列两种情况：
①在区间(0,1)上只有一个交点时: f(0)*f(1)=(a²-1)(a²-a)<0 解得-1<a<0;
②在区间(0,1)上有两个交点时:f(0)=a²-1>0,f(1)=a²-a>0,对称轴x=a/2∈(0,1)
解得a∈(1,2√3/3)
综上，解集为a∈(-1,0)∪(1,2√3/3]

Answer 4

令 f(x)=x^2-ax+a^2-1

由题意得：f(1)*f(0)<0
(2-a+a^2-1)*(a^2-1)<0
算出来就对了

Answer 5

有一个根大于0且小于1

f(0)xf(1)<0

(a^2-1)(1-a+a^2-1)<0
(a+1)(a-1)a(a-1)<0

-1<a<0

Answer 6

因为判别式=a^2-4(a^2-1)=4-3a^2
1)当两根都在(0，1)上时则
0〈a/2〈1
①
a^2-1>0
②
1-a+a^2-1>0
③
4-3a^2≥0
④
解上述不等式组得:1<a≤2√3/3
2)当只有一个根在(0,1)上时则
(a^2-1)(1-a+a^2-1)<0
解得:-1<a<0
综上所述得1<a≤2√3/3或-1<a<0