Question

已知函数f(x)=x+a/x(a>0).

（1）求f（x)的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
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（3）证明f(x)在(0,√a]丄是减函数；
（4）求f(x)在[1/2,2]上的最大值和最小值。

Answer 1

（1）求f（x)的定义域；

x为不等于0的实数

（2）判断f（x）的奇偶性；

f(-x)=-x+a/(-x)=-(x+a/x)=-f(x)

f(x)是奇函数

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（3）证明f(x)在(0,√a]丄是减函数；

设0<x1<x2<√a,

f(x2)-f(x1)=x2+a/x2-(x1-a/x1)=(x2-x1)-a(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)(1-a/(x1x2))

因为0<x1<x2<√a,x1x2<√a*√a=a

所以1-a/(x1x2)>1-a/a=0

所以(x2-x1)(1-a/(x1x2))>0

所以对任意0<x1<x2<根号a，f(x2)>f(x1)
所以f(x)在(0,√a]丄是减函数

（4）求f(x)在[1/2,2]上的最大值和最小值

由上一问可知，√a>=2时，即a>=4时，f(x)在1/2<=x<=2区间是减函数，最大值为f(1/2)=2a+1/2,最小值为f(2)=2+a/2

当0<√a<=1/2时，即0<a<1/4,则f(x)在[1/2,2]是增函数，则最大值为f(2)=2+a/2
最小值为f(1/2)=2a+1/2

如果1/2<√a<2,则当x=√a时，f(x)最小，最小为2√a，最大值为f(1/2)和f(2)中较大的一个

如果f(1/2)>=f(2),2a+1/2>2+a/2，
a>1，

所以1<a<4的时候，最大值为f(1/2)
1/4<a<1时，最大值为f(2)

Answer 2

（1）x不等于0
（2）f（-x）=-f（x）奇函数
（3）x1、x2在此定义域内，并x1<x2，f（x1）-f（x2）=x1-x2+a/x1-a/x2>0减函数

Answer 3

这个函数在a>0时，叫做双钩函数 

我给出图像吧