Question

设函数f(x)=|x+1/a|+|x-a| a>0 证明f（x)>=2

Answer 1

证明：（解法一）

f(x)=|x+1/a|+|x-a|
a>0

①
当x>a
>0时

f(x)
=
2x
+1/a
-a
>x+1/a
>a+1/a
≥
2
(基本不等式)

②
当

-1/a<x<a
时

f(x)
=
x+1/a+a-x

=
a
+
1/a
≥
2
(基本不等式)

③
当
x<
-1/a<0
时

f(x)
=
1/a+a-2x
>2
( 基本不等式)

（解法二）

f(x)=|x+1/a|+|x-a|
a>0

即求数轴上，动点
x
到两定点
a
,
-1/a
的距离之和

即当x位于两定点之间时，距离和为最小，最小值即为两定点之间的线段长

所以 f(x)
≥ f(x)min
=
a
-
(-1/a)
=2