Question

一个圆经过点P(2,1)和直线X-Y=1相切,并且圆心在直线Y=-2X上,求它的标准方程

Answer 1

设圆心坐标是(t,-2t),半径是r,则
r=√（2－t）²＋（1＋2t）²＝√5t²＋5
r＝|t＋2t－1|／√2
∴√5t²＋5＝|3t－1|／√2
∴t＝-3
即圆心（-3，6），r=5√2
所以方程是（x+3)²+(y-6)²=50

Answer 2

圆心在直线Y=-2X上,设圆心C(a,-2a)
圆经过点P(2,1)和直线X-Y=1相切，因为2-1=1，所以点P(2,1)也在直线L:X-Y=1上，故
PC⊥L
r^2=PC^2=(2-a)^2+(1+2a)^2=5a^2+5
直线X-Y=1与直线Y=-2X的交点A（1/3，-2/3）
PA^2=(2-1/3)^2+(1+2/3)^2=50/9
AC^2=(1/3-a)^2+(-2/3+2a)^2=5a^2-10a/3+5/9
在RT△PCA中，由勾股定理，得
AC^2=PC^2+PA^2
5a^2-10a/3+5/9=5a^2+5+50/9
a=-1.5
r^2=16.25
圆的标准方程:
(x+1.5)^2+(y-3)^2=16.25

Answer 3

设
圆心q(k，-2k)，
pq^2=(k-2)^2+(-2k+1)^2=5k^2-8k+5，
q到x-y-1=0的距离：
d=|k+2k-1|/√2=|3k-1|/√2，
根据题意：pq^2=d^2，
∴10k^2-16k+10=9k^2-6k+1
k^2-10k+9=0
k=1或9，
∴圆心坐标(1，-2)或(9，-18)，
半径d=√2或13√2，
∴圆方程：(x-1)^2+(y+2)^2=2或(x-9)^2+(y+18)^2=338。