Question

请教一道高中数学题

已知双曲线方程为 3分之x方 - y方 =1，若直线y=kx+m与双曲线交于不同两点m、n，且m、n的垂直平分线过点A（0、-1），求实数m的取值范围？

求大家帮帮忙，追加100分！谢谢大家了

Answer 1

解：x^2-3y^2=3
x^2-3(k^2x^2+2mkx+m^2)=3
(3k^2-1)x^2+6mkx+3m^2+3=0
x有2解，所以△>0
△=36m^2k^2-36m^2k^2+12m^2-36k^2+12
=12(m^2-3k^2+1)>0
m^2-3k^2+1>0

根据韦达定理，x1+x2=-6mk/(3k^2-1)
所以 y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m
=-6mk^2/(3k^2-1)+2m
=(-6mk^2+6mk^2-2m)/(3k^2-1)
=-2m/(3k^2-1)
所以MN中点(-3mk/(3k^2-1), -m/(3k^2-1)
MN斜率为k
MN中垂线斜率为-1/k
MN中垂线方程：y+m/(3k^2-1)=(-1/k)[x+3mk/(3k^2-1)]
代入A(0, -1)
-1+m/(3k^2-1)=-3m/(3k^2-1)
4m/(3k^2-1)=1
m=(3k^2-1)/4≠0, k≠±√3/3
△=m^2-3k^2+1=m^2-4m>0
m>4 或者 m<0

Answer 2

x^2是x的平方的意思
解：x^2-3y^2=3
x^2-3(k^2x^2+2mkx+m^2)=3
(3k^2-1)x^2+6mkx+3m^2+3=0
x有2解，所以△>0
△=36m^2k^2-36m^2k^2+12m^2-36k^2+12
=12(m^2-3k^2+1)>0
m^2-3k^2+1>0

根据韦达定理，x1+x2=-6mk/(3k^2-1)
所以 y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m
=-6mk^2/(3k^2-1)+2m
=(-6mk^2+6mk^2-2m)/(3k^2-1)
=-2m/(3k^2-1)
所以MN中点(-3mk/(3k^2-1), -m/(3k^2-1)
MN斜率为k
MN中垂线斜率为-1/k
MN中垂线方程：y+m/(3k^2-1)=(-1/k)[x+3mk/(3k^2-1)]
代入A(0, -1)
-1+m/(3k^2-1)=-3m/(3k^2-1)
4m/(3k^2-1)=1
m=(3k^2-1)/4≠0, k≠±√3/3
△=m^2-3k^2+1=m^2-4m>0
m>4 或者 m<0

Answer 3

解：由题意思得
x^2-3y^2=3
x^2-3(k^2x^2+2mkx+m^2)=3
(3k^2-1)x^2+6mkx+3m^2+3=0
x有2解，所以△>0
△=36m^2k^2-36m^2k^2+12m^2-36k^2+12
= 12(m^2-3k^2+1)>0
所以 m^2-3k^2+1>0

由韦达定理，得 x1+x2=-6mk/(3k^2-1)
所以 y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m
=-6mk^2/(3k^2-1)+2m
=(-6mk^2+6mk^2-2m)/(3k^2-1)
=-2m/(3k^2-1)
所以MN中点(-3mk/(3k^2-1), -m/(3k^2-1)
设 MN斜率为k
MN中垂线斜率为-1/k
MN中垂线方程：y+m/(3k^2-1)=(-1/k)[x+3mk/(3k^2-1)]
代入A(0, -1)
-1+m/(3k^2-1)=-3m/(3k^2-1)
4m/(3k^2-1)=1
m=(3k^2-1)/4≠0, k≠±√3/3
△=m^2-3k^2+1=m^2-4m>0
解,得 m>4 或者 m<0