Question

求定积分 形如∫√(X²+D²)等

∫√(X²+D²)
∫(√(X²+D²))^-1.5
哦,是不定积分
那帮我求定的也行
第一个 0 ~ D
第二个 0 ~ +∞
√是开根号,D的常数

Answer 1

利用三角公式1+tan^2α=sec^2α
令x=Dtanα
∫√(x²+D²)dx=D∫√(1+tan^2α)d(Dtanα)=D^2∫sec^3αdα
∫sec^3αdα=secαtanαdα-∫secαtan^2αdα=secαtanαdα-∫secα(sec^2α-1)dα
=secαtanα-∫sec^3αdα+∫secαdα=secαtanα+ln(secα+tanα)-∫sec^3αdα
∫sec^3αdα=1/2(secαtanα+ln(secα+tanα))+C
∫√(x²+D²)dx=1/2*D^2(secαtanα+ln(secα+tanα))+C
由于x=Dtanα
tanα=x/D,secα=√(1+tan^2α)
带入得
∫√(x²+D²)dx＝x/2*√(X²+D²)+D^2/2ln(x+√(X²+D²))+C
第二个是∫(X²+D²)^-1.5吧，不然算不出来

Answer 2

我也一直研究了半天,我发现了一个好方法:

积分换元:

∫√(X²+D²)中,令X=isint*D--------------

原式=i∫Dcos²t dt

然后可以很简单积出,不知你怎么想?

注意,t=arcsin(X/Di)!

翻复反三角函数公式可以解决!

不过我认为楼上的要更好一些,我的在形式上简单,但却要进行复数运算.

第二个的题目?

Answer 3

这是不定积分吧
看不太懂