Question

函数f(x)是定义在R上的奇函数且在[0,+∞)上是增函数

函数f(x)是定义在R上的奇函数且在[0,+∞)上是增函数,是否存在实数m,使f(4m-2mx)>f(4-2x^2)对所有x∈(0,1)都成立?
若存在,求出所有适合条件的实数m,若不存在,请说明理由.

Answer 1

函数f(x)是定义在R上的奇函数且在[0,+∞)上是增函数→易知f(x)在(-∞,+∞)上是增函数
那么f(4m-2mx)>f(4-2x^2)→4m-2mx>4-2x^2→x^2+mx+(2m-2)>0
设g(x)=x^2+mx+(2m-2),其对称轴是x=m/2;
①当m/2≤0时,m≤0;使g(0)=0+(2m-2)>0→m>1,则不成立:{m≤0}∩{m>1}=空集
②当m/2≥1时,m≥2;使g(1)=1+m+(2m-2)>0→m>1/3解该不等式得m≥2且m>1/3→m≥2
③当0<(m/2)<1时,0<m<2;使g(m/2)=(m/2)^2+m(m/2)+(2m-2)=m^2+2m-2>0→m∈{-1-√3,-1+√3}
取①②③的并集,得∈{-1-√3,-1+√3}∪{m≥2}

^^^老总,给我加分啊

Answer 2

f(x)在R上是增函数，转为算（4m-2mx）-（4-2x^2）>0,整理一下是一个带参数M关于X的不等式，即2x^2-2mx+4m-4>0,设g(x)=2x^2-2mx+4m-4，对称轴是m\2,接下来分类讨论，分(m\2)<=0,0<(m\2)<1,(m\2)>=1三种情况，最小值分别是f(0),f(m\2),f(1),算出在f(0),f(m\2),f(1)三个值都大于0的m的取值范围（即分别解出的不等式的交集），即为本题的解。依题意，最后的解应该是有限多的实数或无解（不存在的情况）

Answer 3

因为函数f(x)是定义在R上的奇函数且在[0,+∞)上是增函数,所以函数f(x)是在R上增函数
所以f(4m-2mx)>f(4-2x^2)
可得出4m-2mx>4-2x^2
化简得
x^2-mx+2m-2>0
分离变量 m>(2-x^2)/(2-x)(这里就转化成求(2-x^2)/(2-x)的最大值问题)
分类
1.当x=2时 2>0成立
2.当x不等于2时,
m>(2-x^2)/(2-x)=(-x^2+2x-2x+4-2)/(2-x)=x+2+2/(2-x)(这一步就是除下来得到的)
=(x-2)+(2/(x-2))+4
x∈(0,1)
所以这是一个耐克函数的模型 可以称为勾函数
当x=2-更号2时,(x-2)+(2/(x-2))+4有最大值为4-2*(更号2)
所以m>4-2*(更号2)