Question

已知函数f(x)=[ln(x+1)]^2-(x^2)/(x+1)

已知函数f(x)=[ln(x+1)]^2-(x^2)/(x+1)

(1).求函数f(x)的单调区间;(此问可不回答，已会)
(2).若不等式(1+1/n)^(n+a)<=e对任意的n属于N*都成立,求a的最大值.

答案：（1） （－1,0）增 (0,正无穷)减
（2）1/ln2 -1

个人觉得一定需要用到第一问的，可是还是不会。。。
求详解～
谢～～

Answer 1

两边取自然对数
(n+a)ln(1+1/n)≤1
由于1+1/n>1 ln(1+1/n)>0

当n+a≤0时
(n+a)ln(1+1/n)≤0≤1
a≤-n对任意的n∈N*都成立
由于-n无最小值
此情况不可能成立

当n+a>0时
ln(1+1/n)≤1/(n+a)
ln(1+1/n)-1/(n+a)≤0
g(n)=ln(1+1/n)-1/(n+a)
在定义域上单调递减
g(n)≤g(1)=ln2-1/(a+1)≤0
a≤1/ln2-1

Answer 2

两边取对数，得(n+a)ln(1+1/n)<=1
即ln(1+1/n)<=1/(n+a)
即ln(1+1/n)-1/(n+a)<=0恒成立
设g(x)=ln(1+1/x)-1/(x+a)
g'(x)=-1/x(x+1)+1/(x+a)^2=[(2a-1)x+a^2]/x(x+1)(x+a)^2

由题意，g(1)=ln2-1/(1+a)<=0,所以a<=1/ln2-1
而当a=1/ln2-1时，g'(x)<0在1<=x<无穷上恒成立，即g(x)在[1，无穷）上单调递减

故a的最大值为1/ln2-1