Question

自由落体,初速度为0，时间足够长，阻力f=kv^2 ，求达最大速度时的下落高度

高中竞赛练习
请给出微积分的详细过程，不要只有方法放在那边 （方法我也懂）

Answer 1

先说最大速度啊..
当重力大于阻力时...是加速下降..
当重力小于阻力时...是减速下降..
这你肯定明白吧?..
然后..就是重力等于阻力时..那时...加速度为0..速度是最大..
所以..
f=kv^2=mg..
F=ma=0.因为已经说了 加速度为0的..
解...kv^2=mg
你会解吧?..
得..v=根号下 k分之mg...

我物理不好..不知道对不对..
你看看再想想吧...

Answer 2

ma=mdv/dt=mg-kv^2
dv/(mg/k-v^2)=kdt/m
dln{[√(mg/k)+v]/[√(mg/k)-v]}=2√(gk/m)×dt
t=0,v=0,s=0
积分
ln{[√(mg/k)+v]/[√(mg/k)-v]}=2√(gk/m)×t
v(t)=√(mg/k)×{e^[√(gk/m)×t]-e^[-√(gk/m)×t]}/{e^[√(gk/m)×t]+e^[-√(gk/m)×t]}
ds=vdt
积分
s(t)=m/k×ln<{e^[√(gk/m)×t]+e^[-√(gk/m)×t]}/2>

由上知t较大时时，v即趋近√(mg/k)，而后无限趋近，或者说此后匀速下降。
“最大速度时的下落高度”要求楼主确定何时v可看作是√(mg/k)

/√√√√√

Answer 3

f=kv^2 =gt