Question

直线L:y=kx+1 与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A\B

问是否存在实数k使以AB为直径的圆过双曲线的右焦点F
快快帮帮小弟啦 谢谢
若存在 请求出k值 一楼的方法我早用过 不过我解不出

Answer 1

（2）
假设存在这样的k，则根据圆的性质，AF与BF垂直。
先求F的坐标。双曲线的a=√2/2，b=1，则c=√6/2，F的坐标为(√6/2, 0)
设A、B坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，则由AF垂直BF，得：AF的斜率 * BF的斜率 = =1
因此：
[ y1 / (x1 - √6/2) ] * [ y2 / (x2 - √6/2) ] = -1
整理，得：
y1*y2 = -x1*x2 + (√6/2)(x1+x2) - 3/2

由于y = kx+1，所以：y1*y2 = (kx1 + 1)(kx2 + 1) = k^2*x1*x2 + k(x1+x2) + 1
而x1 + x2 = 2k/(2-k^2)，x1 * x2 = -2/(2-k^2)
代入，得：
5k^2 + 2√6k - 6 = 0
解得：k = (-√6 - 6) / 5（k<0，舍去正根）
比较得到，这个k落在(-2, -√2)范围内。

所以k存在，且k = (-√6 - 6) / 5

Answer 2

首先这道题挺复杂的所以我就不给你算了，但告诉你做题的方法。
首先联立方程y=kx+1与2x2-y2=1得到ab两点的横坐标之和，再利用y=kx+1得到两点纵坐标之和，这就是以ab为直径的圆的圆心的左边。同时依双曲线的方程可知焦点的坐标，依两点间的距离公式可知该圆的半径长。然后用弦长公式AB=根号下一加开方乘以ab两点横坐标差的绝对值可求出另一个关于直径的公式。使之相等，解方程就行了。
这是做这类题的一般解法。至于简便方法有时间再给你说。用电脑不好输入。

Answer 3

substitute y fr equation1 into equation2.
y=kx+1
2x^2-(kx+1)^2=1
2x^2-k^2x^2-2kx-1-1=0
(2-k^2)x^2-2kx=0
using this formula:
b^2-2ac=0(for interception point)
(-2k)^2-2(2-k^2)(0)=0
4k^2=0
k=0