Question

一道初三二次函数题

已知：二次函数x^2-(m+1)x+m的图像交x轴于A（x1,0）(x2,0)两点，交y轴正半轴于C，且x1^2+x2^2=10。问：是否存在过点D(0，-2/5)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，请求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。
（详细过程）

Answer 1

解
(1)
根据韦达定理
x1+x2=m+1
x1*x2=m
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-x1x2=10
m=±3 交y轴的正半轴 m=3
解析式：y=x^2+4x+3

(2)设直线MN的解析式为:
y=kx-5/2
那么和x轴的交点（5/2k ,0)
(x1+x2)/2=5/2k (y1+y2)/2=0

y=kx-5/2
y=x^2+4x+3
解为;x^2+(4-k)x+11/2=x
x1+x2=k-4 那么
k-4=5/k k=5(舍去) k=-1

MN的解析式为:y=-x-5/2
所以，存在过点D（0，－5/2）的直线与抛物线交于M，N两点，与x轴交于点E，使得M，N两点关于点E对称．

Answer 2

根据韦达定理
x1+x2=m+1 x1*x2=m
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-x1x2=10
m=±3 交y轴的正半轴 m=3
则y=x^2-4x+3
设直线MN的解析式为:
y=kx-2/5
因为与已知的二次函数有两交点，所以kx-2/5=x^2-4x+3
整理得x^2-（4+k）x+17/5=0
根据韦达定理 x1+x2=4+k
x1*x2=17/5
y1=x1^2-4x1+3 y2=x2^2-4x2+3
因为对称点在x轴上，所以（y1+y2）/2=0
将y1=x1^2-4x1+3 y2=x2^2-4x2+3带入
再将x1+x2=4+k
x1*x2=17/5
代入
即可