Question

高二数学题关于双曲线的

已知双曲线c的方程为x2-y2/3=1,过P(0,4)的直线l交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点.当PQ向量=λ1QA向量=λ2QB向量，且λ1+λ2=-8/3时，则点Q的坐标为

要求经过清楚，最重要要有结果
还有一题：
已知F1,F2为双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左右焦点,P为右支上一点,点P到右焦点的距离为d，若PF1,PF2,d依次成等差数列，则此双曲线离心率的取值范围是.....

要求同上，谢谢咯

Answer 1

解：设直线l方程为x=k(y-4),代入双曲线方程x²-y²/3=1消去x得：
(k²-1/3)y²-8k²y+16k²-1=0，
由韦达定理可知：y1+y2=8k²/(k²-1/3) ①,y1y2=(16k²-1)/(k²-1/3) ②
直线l与x轴的交点Q的坐标为(-4k,0)
向量PQ=(-4k,-4),向量QA=(x1+4k,y1),向量QB=(x2+4k,y2),
λ1=-4/y1,λ2=-4/y2,λ1+λ2=-4(1/y1 + 1/y2)=-8/3
∴1/y1 + 1/y2=(y1+y2)/(y1y2)=2/3 代入①②得：
8k²/(16k²-1)=2/3,解得k²=1/4,k=±1/2
Q点坐标为(-2,0)或(2,0)

补充的那道题有错误：点P到右焦点的距离为d，右焦点不就是F2?我猜应该是到右准线的距离吧？
解：因为点P在双曲线右支上，根据双曲线第一定义有|PF1|-|PF2|=2a，
根据第二定义，|PF2|=ed,所以|PF1|=ed+2a
ed+2a,ed,d构成等差数列，则ed=d+2a,解得d=2a/(e-1)
对于双曲线上的点P来说，当P为右顶点时d最小，此时d=a-a²/c=a(1-a/c)=a(1-1/e)
所以d=2a/(e-1)≥a(1-1/e),约去a,整理得到不等式e²-4e+1≤0
解之，得2-√3≤e≤2+√3,结合e>1的事实
e的取值范围是(1,2+√3]