Question

高数零点定理

设函数f（x）d对于闭区间[a,b]上任意两点x、y,恒有｜f（x）－f（y）｜≤L｜x－y｜，其中L为正常数，且f（a）·f（b）＜0证明：至少有一点ξΕ（a，b），使得f（ξ）＝0

Answer 1

因为f（a）·f（b）＜0
所以要用零点定理只需证明f(x)是否连续

因为｜f（x）－f（y）｜≤L｜x－y｜
假设y=x+△x
原式=｜f（x）－f（x+△x）｜≤L｜x－(x+△x)｜=L｜△x｜

因此当△x趋向0时，0≤｜f（x）－f（x+△x）｜≤L｜△x｜
｜f（x）－f（x+△x）｜=0（夹逼定理）

所以f(x)连续且f（a）·f（b）＜0
所以f（ξ）＝0

Answer 2

由｜f（x）－f（y）｜≤L｜x－y｜可知函数f（x）是连续的,再由f（a）·f（b）＜0可知f（x）在区间[a,b]端点异号,由介值定理即得结论.