Question

已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)

（1）求证：a+b与a-b互相垂直
（2）若|ka+b|与|ka-b|大小相等，求β-α（其中k∈R，k≠0）

Answer 1

1：
（a+b）*（a-b）
=（cosα+cosβ）*（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）*（sinα-sinβ）
=（cosα）^2-（cosβ）^2+（sinα）^2-（sinβ）^2
=（cosα）^2+（sinα）^2-（（sinβ）^2+（cosβ）^2)
=1-1
=0
所以垂直。
2：
（kcosα+cosβ）^2+（ksinα+sinβ）^2=（kcosα-cosβ）^2+（ksinα-sinβ）^2
化简可得：
cosα*cosβ+sinα*sinβ=0
所以cos（α-β）=cos（β-α）=0
因为0<α<β<π，
所以得到β-α=π/2

Answer 2

(1)
(a+b).(a-b)
=(cosα+cosβ)(cosα-cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα-sinβ)
=(cosα)^2-
(cosβ)^2+(sinα)^2-(sinβ)^2
=0
=>a+b与a-b互相垂直
(2)
|ka+b|^2
=k^2|a|^2+|b|^2+2ka.b
(1)
|a-kb|^2
=|a|^2+k^2|b|^2-2ka.b
(2)
(1)=(2)
(k^2-1)|a|^2+(1-k^2)|b|^2
+
4ka.b=0
(k^2-1)+(1-k^2)+4k(cosαcosβ
+sinαsinβ)=0
4kcos(β-α)
=0
β-α
=
π/2