Question

求所有的整数对（a,b)，使x＾3-x＾2y+xy＾2-y＾3=4x＾2-4xy+4y＾2+47

应该是(x,y),题上写成（a,b）了，不好意思。

Answer 1

x³-x²y+xy²-y³=4x²-4xy+4y²+47
(x-y)(x²+y²)=2(x²+y²)+2(x-y)²+47
令x-y=u，x²+y²=v，代入上式得uv=2v+2u²+47
(u-2)v=2u²+47，因v>0，所以u-2>0.
(u-2)(v-2u-4)=55
可能u-2=1, 5, 11, 55即u=3,7, 13, 57.
相应的v=65, 29, 35, 119
由于v=x²+y²≡1(mod 4), 并且v只含有1(mod 4)的素因子，故上面只有65和29可能正确。
x-y=3
x²+y²=65无解
x-y=7
x²+y²=29有唯一解(x, y)=(5, -2)