Question

已知椭圆C1的中心在坐标原点O,焦点在X轴上，离心率为e

已知椭圆C1的中心在坐标原点O,焦点在X轴上，离心率为e=（1/2根下3），P为椭圆上一动点，F1、F2分别为椭圆的左右焦点，且△PF1F2的面积的最大值为根下3
（1）求椭圆C1的方程
（2）设椭圆短轴上端点为A，M为动点，且1/5|F2A向量|^2,1/2F2M向量*AM向量,AF1向量*OM向量成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程；

（3）过点M作C2的切线L交C1于Q、R两点 求证：OQ向量*OR向量=0
那位大虾会第3问

Answer 1

(1)因为△PF1F2的面积等于1/2底乘高，而底为F1F2（焦距）不变，所以当P为短轴端点时，面积最大。
e=c/a=√3/2
1/2*(2c)*b=√3
a^2=b^2+c^2
解得a=2,b=1,c=√3
x^2/4+y^2/1=1
其他有空再做

Answer 2

第三问主要考察常用结论，数量积的坐标运算和计算能力，并不难。

提示：第二问答案为C2: x^2+y^2=4/5
由此可设点M为M(x0,y0),则切线L的方程为x0x+y0y=4/5...(1)
将(1)与椭圆C1的方程联立后消去y得关于x的
一个二次方程（3），令P,Q坐标分别为P(x1,y1),Q(x2,y2) 则对（3）使用韦达定理得x1x2,x1+x2的表达式，在此基础上结合（1）可得y1y2的表达式
因此得：向量OQ*向量OR=x1x2+y1y2=F(x0,y0) (即一个关于M的坐标的式子） 将x0^2+y0^2=4/5代入F(x0,y0)即得其值为0，证毕。

注意：若要节省最后一步代入（简化计算过程）则开始设点M坐标为M（2*根号5*cost/5, 2*根号5*sint/5) ，即利用圆的参数方程设点(参数为实数t),将上述二元化简转化为一元三角化简.