Question

样本方差公式N-1的奥妙

我已经知道了两种解释：但都看不懂
不懂得地方已经用括号写下来了
希望达人指教 多给几种解释最好，多给追加分
1.总体方差为σ2,均值为μ
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)
X表示样本均值=(X1+X2+...+Xn)/n

设A=(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2
E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]
=E[(X1)^2-2X*X1+X^2+(X2)^2-2X*X2+X^2+(X2-X)^2....+(Xn)^2-2X*Xn+X^2]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(X1+X2+...+Xn)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2+nX^2-2X*(nX)]
=E[(X1)^2+(X2)^2...+(Xn)^2-nX^2]

而E(Xi)^2=D(Xi)+[E(Xi)]^2=σ2+μ2
E(X)^2=D(X)+[E(X)]^2=σ2/n+μ2 （为什么是N分之方差）
所以E(A)=E[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]
=n(σ2+μ2)-n(σ2/n+μ2)
=(n-1)σ2
所以为了保证样本方差的无偏性
S=[(X1-X)^2+(X2-X)^2....+(Xn-X)^2]/(n-1)
E(S)=(n-1)σ2/(n-1)=σ2
2.自由度也可以解释，不是有n个与均值偏差的平方和吗？正好这n个表达式之和等于0，也就是说本来n维自由度的，受限于一个条件。所以变成了n－1维了。另外楼上说的无偏性最为根本，才是修正的根本原因。

还有一点，正是因为无偏的缘故，大样本情况下，除以n－1和n结果偏差不大，所以要追求性质更好的那个估计了。
（关键是自由度和除有什么关系）
总体的方差是由各数据与总体平均数的差值求出来的，因此必须将总体平均数 固定后才可以求总体的方差。但是由于总体平均数被固定，它就不能独立自由变化，方差受到总体平均数的限制，少了一个自由变化的机会，因此，使用样本方差来估计总体的方差时，分母的n必须改为(n-1)才不会低估总体的方差，这里(n-1)是样本的自由度，又叫总体方差的无偏估计值。
自由度是N-1，为什么要方差要除N-1？？？？

Answer 1

你是高中生还是大学生呀
D(X)=D((X1+X2+...+Xn)/n)
=D(X1+X2+...+Xn)/n^2
=[D(X1)+D(X2)+...+D(Xn)]/n^2
=nσ2/n^2
=σ2/n
首先，用真正的（Xi-μ）^2来看，方差本应该是与μ的差，而不是样本均值的差，增加一个数，就多一个（Xi-μ）^2，n个数据，这n个数据与μ是无关的，就该是n个这相加后除n。也就是自由度是n
但是，用样本均值来减，从这来看X1+X2+...+Xn＝nX，这个地方也就是说n个数据与X相指简掘关，咐友这就少了一个自由度，从而，用（Xi-X）^2计算时，会相当少了一个原本（Xi-μ）^2。故除n-1。唯核其实这讲得也不太准确，我也不知道怎么说好。
主要还是X1+X2+...+Xn＝nX，这个计算出的X，Xi-X这所有相加为0，也就是少了个了，少了什么，我也不知怎么说，自己想吧

Answer 2

因为自己减自己的那个（那个肯定为0了）要从分母中扣掉，所以要n-1

Answer 3

没关系啊。。

Answer 4

没关系啊。。

Answer 5

meiyou