Question

lim(x+sinx)/x的极限问题？答的好追加！

1.如题，正解中说lim(x+sinx)/x（x->无穷）的1+cosx不存在，也就是说不能用洛必达法则，但是洛必达法则不说说最后的值可以是一个数也可以是无穷吗（也就是不存在）啊！
2.lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)当x趋向0，这个题用洛必达法则行不行？我用了在分子出出现了一个sin1/x结果就是3+无穷/2
可是正解是3/2
我就是不明白洛必达怎么用，请详细告诉我！

Answer 1

用洛必达法则之前，一定要化简。不然即使有极限，表达式太复杂求导也不方便。

像第一题
lim_{x->无穷}[(x+sinx)/x]

= lim_{x->无穷}[1 + sin(x)/x]

= 1 + lim_{x->无穷}[sin(x)/x]

= 1 + 0

= 1.

不需要用洛必达法则。

洛必达法则是说，求导后极限存在的情况下，求导前后的极限相等。
所以说，“求导后极限存在”，是，“求导前后的极限相等”，的充分条件，但并不是必要条件。
这样，当求导后极限不存在时，不能给出“求导前的极限也不存在”的结论。

但，确实和你说的一样，
当求导后的极限是无穷时，也可以说，求导前的极限是无穷。

我理解，极限是无穷是一种非常特别的极限不存在的情形。
实际上，如果把无穷远点也考虑进来的话，可以认为极限是无穷的情形是有极限的情形。
从极限的定义中也可以看出这点来。
在给完极限是有限数的定义后，特别给出了极限是无穷的定义。
在给完x趋于有限数的极限的定义后，特别给出了x趋于无穷的极限的定义。

可是，这道题，如果用洛必达法则，求导后的函数是在0和2之间不断震荡的，并不是趋于无穷，因此，不符合应用洛必达法则的条件。

如果把第1题改成
lim_{x->0}[(x+sinx)/x],

用不用洛必达法则都可以，

不用的话，lim_{x->0}[(x+sinx)/x] = lim_{x->0}[1 + sin(x)/x]

= 1 + 1

= 2.

用的话，lim_{x->0}[(x+sinx)/x] = lim_{x->0}[1 + cos(x)]

= 1 + 1

= 2.

第2题.
lim_{x->0}[3sinx + x^2cos（1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]
可以用洛必达法则，
但用之前一定要化简。
要是直接用，求导就非常麻烦了。

化简的方法是，
（1）极限非零的乘性因子可以先计算出来；
（2）尽量利用等价量代换来使得函数式子变得简洁。
（3）可以分别计算的时候，就分别计算。

这道题里，乘性因子[1/（1+cosx）]的极限为1/2,可以在求导之前先提出来。

ln(1+x)可以等价代换为x.

lim_{x->0}[3sinx + x^2cos（1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]

= lim_{x->0}[1/(1+cosx)]lim_{x->0}[3sinx + x^2cos（1/x)]/x*lim_{x->0}[ln(1+x)/x]

= (1/2)lim_{x->0}[3sinx + x^2cos（1/x)]/x

现在可以用洛必达法则了，但你真的想用吗？我看见要对cos（1/x)求导，头有些晕。如果有可能不用求导，我一定不求导。
这个时候，我会选择分别计算。

lim_{x->0}[3sinx + x^2cos（1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]

= (1/2)lim_{x->0}[3sinx + x^2cos（1/x)]/x

= (1/2)lim_{x->0}[3sin(x)/x] + (1/2)lim_{x->0}[xcos(1/x)]

第一个极限 = 3/2,
第二个是有界量乘无穷小量，极限是0，
因此，
lim_{x->0}[3sinx + x^2cos（1/x)]/[(1+cosx)ln(1+x)]

= (1/2)lim_{x->0}[3sin(x)/x] + (1/2)lim_{x->0}[xcos(1/x)]

= 3/2 + 0

= 3/2

所以说，第2题虽然可以用洛必达法则，但为了避免复杂函数的求导运算，也可以不用洛必达法则。

洛必达法则很漂亮，很诱人，
但每次用洛必达法则之前，一定要化简。

要不然，洛必达法则只是一个美丽的陷阱。。。

Answer 2

楼主的对这部分的想法混淆得太厉害，真是剪不断，理还乱。。。

我也不是老师也不知道给你从何说起，就一个问题一个问题的来吧。

第一题：
lim(x+sinx)/x（x→∞）
=lim(1+ sinx/x）
=1+lim sinx/x
=1+0=1
lim sinx/x（x→∞）= 0 这个是因为 分子 sinx有界 分母趋近∞。
本题为什么不能用洛必达
分子分母同时求导后得到 1+cosx （x→∞）
-1≤cosx≤1
0≤1+cosx≤2 这个是不存在了 但是不是无穷 因为它大于0小于2.
也就是说最后的1+cosx 即不收敛于一个数，也不是无穷 所以洛氏法则失效。
楼主的“洛必达法则不是说最后的值可以是一个数也可以是无穷吗”这句话是对的。
但是加上后面的括号（也就是不存在）就不对了。
无穷和不存在是不等价的。

第二题：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
直接洛氏法则也行不通。
我用了在分子出出现了一个sin（1/x）
那结果就是 [3-sin（1/x）]/2 楼主得到3+无穷/2
应该是以为：sin（1/x）为无穷吧。呵呵，不是的。
-1≤sin(这个里面不管是什么)≤1
那么同样 [3-sin（1/x）]/2 即不收敛于一个数，也不是无穷。洛氏法则失效。
那么这个题真么做呢？
和上面一样 分成两个极限求：
lim(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
=lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)+ lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x) （x→0）
=3/2 + lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=3/2 + 0
=3/2

lim3sinx/(1+cosx)ln(1+x)=3/2 这个极限你可以直接用 洛氏法则。其实用等价无穷系代换非常简单。
后面一个极限：
lim(x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=lim (xcos1/x)/(1+cosx)-------利用了等价无穷小代换： x代换ln(1+x)
=(0*cos1/x)/2
=0

楼主 主要混淆的地方 在于 无穷和不存在的区分。
这一个小问题影响了楼主对高数很多问题的混淆。

Answer 3

x为无穷大
而
sinx最大为1，不是无穷大

sinx/x x为无穷大时， ＝0

Answer 4

1.lim(x+sinx)/x（x->无穷）
=1+lim（x->无穷)sinx*(1/x)
因为（x->无穷)
所以1/x->0,是无穷小量，
而sinx是有界量|sinx|<=1,
所以lim(x+sinx)/x（x->无穷)=1
这道题的确不能用洛必达法则
因为用的话lim(x+sinx)/x（x->无穷)=
lim(1+cosx)（x->无穷)
因为（x->无穷)，cosx是没有极限的，而不是无穷大
所以lim(1+cosx)（x->无穷)极限不存在
所以不能用洛必达法则
2.lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=1/2*lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/ln(1+x)
=1/2*lim(x->0)[3cosx+2xcos(1/x)+sin(1/x)](1+x)
=1/2*lim(x->0)(3+sin(1/x))
因为sin(1/x)(x->0)极限不存在
所以这道题也不能用洛必达法则
那么这道题只能这样做
lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/(1+cosx)ln(1+x)
=1/2lim(x->0)(3sinx+x^2cos1/x)/x(等价无穷小）
=1/2lim(x->0)[3sinx/x+xcos(1/x)]
=3/2
其实洛必达法则很好用，当分子分母均趋向于0或趋向于无穷大时，就能用，当然还要求f'(x)/g'(x)极限存在或者为无穷大。。
像以上两道特例因为不满足f'(x)/g'(x)极限存在或者为无穷大这个条件所以不能用