Question

过点p（2，1）作直线l，分别交x轴y轴的正半轴于A，B两点。当三角形AOB的面积最小时求直线l的方程

过点p（2，1）作直线l，分别交x轴y轴的正半轴于A，B两点。当三角形AOB的面积最小时求直线l的方程
要过程

Answer 1

我告诉你吧,我用二种方法解:
方法一:
要使三角形AOB的面积最小,则二直角边长就必须为定值,因为直线经过点P(2,1),过点P作平行于X,Y轴的直线,分别交X,Y轴于点E,F,而四边形OEPF为定值,要使三角形AOB的面积最小,则三角形FPB的面积必须最小,则只有二直角边为定值,即FP=2,FB=1,则三角形FPB的面积最小,就有三角形FPB的面积=三角形EPA的面积,
那么直线L的方程为Y=-1/2X+2,

方法二:因为直线过点P(2,1),是属于直线系方程,即有m条直线必经过此点.
则此条直线方程可设为:Y-1=m(x-2),即直线必过定点P(2,1).
当X=0时,Y=1-2m,(m<0)
当Y=0,X=2-1/m=(2m-1)/m.
S三角形AOB的面积=1/2*(1-2m)*(2m-1)/m
=-1/2(4m^2-4m+1)/m
=2-1/2(4m+1/m),
要使S最小,4m+1/m就必须最大,
因为m<0,则-m>0,就有
(-4m)+(-1/m)≥2*√[(-4m)*(-1/m)]=2*2=4,当且仅当(-4m)=(-1/m)时,取等号,即-4m=-1/m,|m|=1/2,(m<0),
m=-1/2.
则直线L的方程为Y=-1/2X+2.

Answer 2

已知直线L过点P（2，1）
设直线L的方程为y-1=k(x-2)（k<0）
由题意得,A（a，0）和B（0，b），
则 a=2-1/k b=1-2k
三角形ABO的面积S(ABO)
=(1/2)(2-1/k)(1-2k)
=(1/2)(-4k-1/k+4)
因为k<0 所以-4k>0 -1/k>0
当且仅当-4k=-1/k即k=-1/2时
直线L=y-1=(-1/2)(x-2)
=x+2y-4=0

Answer 3

方法一:
要使三角形AOB的面积最小,则二直角边长就必须为定值,因为直线经过点P(2,1),过点P作平行于X,Y轴的直线,分别交X,Y轴于点E,F,而四边形OEPF为定值,要使三角形AOB的面积最小,则三角形FPB的面积必须最小,则只有二直角边为定值,即FP=2,FB=1,则三角形FPB的面积最小,就有三角形FPB的面积=三角形EPA的面积,
那么直线L的方程为Y=-1/2X+2,
方法二:因为直线过点P(2,1),是属于直线系方程,即有m条直线必经过此点.
则此条直线方程可设为:Y-1=m(x-2),即直线必过定点P(2,1).
当X=0时,Y=1-2m,(m<0)
当Y=0,X=2-1/m=(2m-1)/m.
S三角形AOB的面积=1/2*(1-2m)*(2m-1)/m
=-1/2(4m^2-4m+1)/m
=2-1/2(4m+1/m),
要使S最小,4m+1/m就必须最大,
因为m<0,则-m>0,就有
(-4m)+(-1/m)≥2*√[(-4m)*(-1/m)]=2*2=4,当且仅当(-4m)=(-1/m)时,取等号,即-4m=-1/m,|m|=1/2,(m<0),
m=-1/2.
则直线L的方程为Y=-1/2X+2.

Answer 4

设直线方程为y=k(x-2)+1,在设点A(0,b),点B(a,0).而它们又在直线上，所以令x=0,则b=1-2k,y=0,则a=2-1/k.所以三角形
AOB的面积等于1/2乘以（1-2k）（2-1/k）(a大于零，b大于零），剩下就是化简了。

Answer 5

y=-0.5x+2