Question

芝诺诡辩怎样解决的？

“这个悖论实际上是反映了时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。即朴素的量子论。”该怎样理解？
从量子力学与数学角度分别解释一下可否。

Answer 1

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A B C D E F……

阿基里斯在A点时，乌龟在B点；他追到B，它爬到C；他追到C，它爬到D，……我们看到，阿基里斯离乌龟越来越近,也就是，AB，BC，CD，……这些线段越来越短，每个都只有前一个的1／10,但是每一个线段的长度都不会是0，这就是说,当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内他都追不上乌龟。 那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗档喊没? 当然不是。所以会产生上述困难，是因为忽视了一个十分重要的因素：由于那些线段越来越短，阿基里斯跑完那些线段所用的时间也越来越短，下一次只相当于上一次的1/10。 芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。 芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。

用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟，那么他跑完BC只要6秒钟，跑完CD只需 0.6秒，实际上，他只需要1 1/9分钟就可以追上乌龟了。

因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。 这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。

芝诺悖论

芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：

1、二分法。物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。

2、阿喀琉斯（一译阿基里渗哗斯）。若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。（这个悖论有一个著名的故事，就是阿喀琉斯与乌龟赛跑，等乌龟先跑出一段后阿喀琉斯再起跑追赶，结果则是飞毛腿阿喀琉斯怎么也追不上乌龟。）

3、飞矢不动。任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。

4、运动场。两列物体B、C相对于一列静止物体A相向运动，B越过A的数目是越过C的一半，所以一半时间等于一倍时间。

这是芝诺为了捍卫他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨最为合适。

历史上对于芝诺悖论的评价和驳斥：

19、20世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷全盘接受芝诺的论证和结论。他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。

已知最早的批评来自亚里士多德。关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在行纳结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。亚氏批评的意义主要在于使芝诺论辨显得更为明了，前面对诸论辨的转述就显然参照了亚里士多德的这些批评。

黑格尔对芝诺悖论的解决是：“运动的意思是说：在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，——并且这才是使得运动可能的条件。”这个解决方法要点在于强调时间空间的连续性，而且对连续性赋与新的、特有的解释。不过，它似乎并没有直接针对芝诺论辨本身来提出批评，而且关于连续性的独特解释与数学和逻辑所要求的精确性不相容。受黑格尔的影响，我国哲学界一般认为芝诺不懂得连续性和间断性的辩证关系，把这两者机械的对立起来，所以造成运动悖论。这大意是说，芝诺的论证没使用辩证逻辑，因而是无效的。这种批评同样是笼而统之，不关痛痒。

进入19世纪以后，人们开始运用数学分析的方法来考证芝诺悖论。就那“阿喀琉斯与乌龟”这个悖论来说吧，现在的小学生遇到类似的追赶问题都会很容易的建立起一个方程组来算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿喀琉斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿喀琉斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。

高等数学运用极限理论与微积分也可以得出相同的结果，而且其解答思路与悖论的表述相似，就是把一段一段跑的距离加起来，这些数列虽然有无限多项，但其总和并不是一个无穷大的数目。但是问题是，即便综合是一个有限的数，但是它却是由无限多的数（无限多的步）组成的，作为一个活生生的人，阿喀琉斯如何来实践着无限多个的步骤呢？

事实上，隐藏在这几个悖论的背后，是我们对于运动本质的思考，即何谓运动（与参照系的关系）？怎样运动（如何迈出第一步）？

希腊时代犬儒学派的创始人第奥根尼对芝诺论辨有一个回答。据说当他的学生向他请教如何反驳芝诺时，他一言不发，在房间里走来走去，学生还是不理解，他说，芝诺说运动不存在，我这不是正在证明他是错的吗？这个故事很长时间被作为一个笑话，人们大多相信，第奥根尼根本没有弄懂芝诺的意思。芝诺并不是说在现象界没有运动这么一回事，他当然承认有，但他要说的是，虽然满目是物体在飞舞，但运动是不合理的，我们可以通过逻辑证明运动是不可能的。因此，我们所看到的运动是假象，并不真实，因为真实的东西一定是合乎逻辑的。

然而我想，近年来科学家们正在研究的时空可能的量子结构也许会为芝诺悖论带来一个新的思考方向。

具体来说，在人们的传统观念中，时间和空间（也可以结合起来说成是时空）都是连续的。正如100多年前，绝大多数人和科学家认为物质是连续的。尽管自古以来一些哲学家和科学家曾经推测如果把物质分解到足够小的块，就会发现它们是由微小的原子组成，然而当时几乎没有人认为能够证实原子的存在。今天我们已经得到了单个原子的图像，也研究了组成原子的粒子。物质的粒子性已经是过时的新闻了。 在最近几十年中，物理学家和数学家想知道空间是否也由离散块组成的。它是连续的，就像我们在学校里学到的那样，还是更像一块布，由根根纤维编织而成？如果能探测到足够小的尺度，我们是否能看到空间的“原子”，它们的体积不能被分割成更小的形态？对时间来说，情况又怎样呢？自然界是连续变化的，还是世界以一系列微小的步伐来进化。

如果世界真是如此构建的话，那么时空也就变成了“一份一份”的单元，我们就能得到一个最最极限的长度，一个最最极限的面积，一个最最极限的体积（圈量子理论认为，这个长度是普朗克长度10^-33厘米，面积是普朗克长度的平方，体积则是普朗克长度的立方）。而这在原则上就否定了芝诺第一、二悖论关于时空是连续的假设。

于是再回过头看芝诺关于阿喀琉斯追赶乌龟的悖论。随着阿喀琉斯越来越接近乌龟，他们之间的距离差越来越小，但这个距离现在并不是趋于无穷小，而是有一个极限――空间量子的最短距离。因为阿喀琉斯的速度大于乌龟，于是在这一确定距离的路程上他经过的时间要比乌龟短――胜负已分，在这里阿喀琉斯终于超过了乌龟！

类似的道理，对于第一个悖论，全程的中点并不是可以无限分割的，它同样遇到了空间量子距离的限制――因此从根本上否定了这个悖论。

但是，对于第三和第四个悖论却比较难回答。前面说了，第一第二个悖论事实上就是建立在假设时空是连续的基础上来说明无论是绝对运动或是相对运动都是不可能的；而第三和第四个悖论却体现了假如时空不是连续的，运动同样是不可能的。还有，芝诺悖论它不仅涉及到运动场所（背景）本质的特性问题，如第一、三悖论；也有关于运动本身（包括运动的发生和过程）的考量，如第二、四悖论——这是芝诺悖论的另一大难题。但是随着物理学的发展，我们对于运动本性的问题可能也可以回答一部分。

先来看一个实验，乃是关于中子是如何在重力场中下落的。东西往下落，这可谓是最稀松平常的一个运动现象了，它是最最基本的运动方式之一，我们每天都能见到，实践这种运动，并且说白了，芝诺的飞矢实际上做的就是这种运动。那么，在中子下落的过程中，科学家们观察到什么有趣的事情了吗？答案很出乎人们的预料：实验过程中的中子在下落中都只出现在不连续的高度上!这说明，重力场本身是已量子化的，运动其间的物体的运动过程同样是量子化的，它就如电子跃迁只能出现在不连续的能级上的行为一样（这已被量子力学所深入考察印证）。于是，整个世界就如一部异常精细的电影，我们如胶片般一帧一帧地随着时间运动、演化。只不过一帧帧间的时间间隔不是0.04秒，而是一单位普朗克时间。帧与帧间的动作差别也是极其微小的，最小单位乃是一单位普朗克长度、面积或是体积。芝诺对于飞矢不动的现象的论断是正确的，因为一帧画面它就是静止的，但他由此导出的运动不可能的结论却是值得商量的。

也许你要问，为何到现在我还不能说芝诺是错的，仍要用“值得商量”这个词？那是因为无论前面说的时空结构是量子化的，还是运动过程是量子化的也好，这些都只解决了一个“运动过程是可能的”的问题，它只是将经典的芝诺悖论转化为“量子芝诺悖论”而已。芝诺悖论的更深的意义在于它还质疑了“运动的发生”也就是为何会动或称“第一步”的问题。就算把“飞矢”的问题量子化后，如果加进考虑“坍缩”，还会出现一个奇怪现象：假如我们一直观察系统，也就是飞矢的“每一帧”，那么因为我们的观察它的波函数必然总是在坍缩，薛定谔波函数从来就没有机会去发展和演化。这样，它必定一直停留在初始状态，看上去的效果相当于飞矢停滞了。在这个问题上我还没有什么好的思路，有一点想法就是它也许与我们的精神对于量子效应的决定作用有关：意识使得波函数坍缩——使得物质波不再随着薛定谔方程演化，而成为一个客观实在（仅限于量子的哥本哈根解释）。物质由这样诞生，反过来说要是使运动也有可能，人意识的作用大概也必不可少吧。想到这里，我不由得再次敬佩起芝诺来，他所提出的悖论是多么的深刻啊，真是值得我们好好探究再探究。

我对芝诺悖论不擅长…直接抄的…请见谅。