Question

求证：等边三角形外接圆半径是内接圆2倍

Answer 1

在图中 三角形OAB 中 OA是内切圆半径 OB是外接圆半径

OA垂直AB

且OB平分等边三角形一个角

所以∠OBA=30°

sin∠OBA=sin30°=OA/OB=1/2

OB=2OA

即等边三角形外接圆半径是内接圆2倍

Answer 2

可以用对称性做：
内切圆的三个切点恰好是三边中点。连接三边中点，得到一个半径是原三角形一半的等边三角形。而且该内切圆恰好是小三角形的外接圆。由于我们知道两个等边三角形的边长之比为1:2，容易知道外接圆的半径必也是1:2。于是就得出了大三角形的外接圆半径是内接圆2倍。

巧妙吧？基本不需要几何知识，就用一些基本的概念就行了。

Answer 3

（1）等边三角形的内心也是外心 很显然，等边三角形的角平分线和对应的边的中垂线重合。所以角平分线的交点和中垂线的交点重合，所以 内心和外心重合（2） 等边三角形的外接圆的半径R是内接圆半径r的2倍 OB是外接圆的半径，OD是内切圆的半径 而BO是角平分线，所以 角OBD＝30度 所以 BO＝2OD

Answer 4

是内接圆还是内切圆？~