Question

一道数学题

您好！
为大家准备一道数学题：一箱苹果，2个2个地数余1个，5个5个地数余2个，7个7个地数余5个，问这箱苹果有多少个？（请用韩信点兵的数学原理解答）
谢谢！

Answer 1

你好～

中国古代有一种算法叫做“大衍求一术”，简单点儿解释就是：求一个数N，使得它被A1除余r1，被A2除余r2，被A3除余r3……。写成代数式就是：N=A1q1+r1=A2q2+r2=A3q3+r3=……那么“大衍求一术”要求我们首先找到一个数M1，它除以A1余1，而同时又被B1=A2×A3整除；再找一个数M2，它除以A2余1，而同时又被B2=A1×A3整除；再找一个数M3，它除以A3余1，而同时又被B3=A1×A2整除；如此等等。以上一系列“求一”的过程，相当于解一系列不定方程：BiX+AiY=1，（i=1，2，3……）。那么，当A1，A2，A3互质的时候，利用辗转相除法，可以求得上面不定方程的解Xi（i=1，2，3……）。于是，若令Mi=BiXi，那么M1r1+M2r2+M3r3就是一个被A1除余r1，被A2除余r2，被A3除余r3的数，它加上或减去A1×A2×A3依然具有同样性质。

现在利用上述性质做这道题：
先求被2除余1且被5×7=35整除的数。显然，35即为结果，所以求得M1=35。再求被5除余1且被2×7=14整除的数。辗转相除：14-5×2=4，5-4=1，那么1=5-4=5-（14-5×2）=-14+5×3，求得M2=-14。最后求求被7除余1且被2×5=10整除的数。辗转相除：10-7=3，7-3×2=1，1=7-3×2=7-（10-7）×2=-20+7×3，求得M3=-20。题中r1=1，r2=2，r3=5，从而M1r1+M2r2+M3r3=-93，注意到2×5×7=70，所以被2除余1，被5除余2，被7除余的最小自然数是-93+70×2=47。

如果LZ不明白什么是辗转相除法，自己去找点资料看看吧，很容易理解的。
以上就是“韩信点兵”这类题目的一般做法。
不过由于这题的数字很小，所以用3楼的做法就OK了～

Answer 2

韩信点一队士兵的人数，2人一组余1人，五人一组余2人，七人一组余5人。问：这队士兵至少有多少人？

这个题目是要求出一个正数，使之用2除余1，用5除余2，用7除余5，而且希望所求出的数尽可能地小。

也就是这个数要满足于2n+1. 5n+2,7n+5.且N是非负整数.
2n+1: 3,5,7,9,11,13,,,,47,...
5n+2: 7,12,17,22,27,32,37,42,47,
7n+5: 12,19,26,33,40,47,54,61,68,

所以一共有苹果47个

Answer 3

2个2个地数余1个...奇数
5个5个地数余2个...尾数是7或2(不成立)
7个7个地数余5个...47

Answer 4

解：
由第一句2个2个地数余1个，说明是个奇数。
由第二句，说明是5的倍数少3。
由第三句，说明是7的倍数少2。
2×70＋3×21＋2×15＝233
233除以105的余数是23 ，所以这箱苹果有23个。

Answer 5

1 必须是奇数
2 为数必须是7
满足题中所给的条件的数只有47

Answer 6

1 必须是奇数
2 尾数必须是7

也就是这个数要满足于2n+1. 5n+2,7n+5.且N是非负整数.
2n+1: 3,5,7,9,11,13,,,,47,... 奇数
5n+2: 7,12,17,22,27,32,37,42,47,
7n+5: 12,19,26,33,40,47,54,61,68,
所以一共有苹果47个