Question

已知动直线kx-y+1=0和圆x^2+y^2=1相交于A、B两点，求弦AB中点的轨迹方程

要详细过程

Answer 1

首先 由圆的方程可以看出这是一个以原点为圆心半径为一的原
而直线是一条以K为斜率 必定经过(0,1)的点（主要是因为K取任何值都过此点，也可以通过把直线Y=kx+1带入圆的方程解得）
于是 再由y=kx+1和x^2+y^2=1联立化简，得到x^2(k^2+1)+2kx=0
于是得到x=(-2k)/(k^2+1) 而y=(-2k^2)/(k^2+1)+1
由中点定理得到 中点坐标为x=(-k)/(k^2+1) y=(-k^2)/(k^2+1)+1
然后消元得到： 中点轨迹方程为x^2+y^2-y=0(-0.5<=x<=0.5)

Answer 2

设中点为（x,y)
直线过定点A(0,1) B（2x，2y-1)
把B点代入圆方程化简得到中点的轨迹方程

Answer 3

设圆心为O、弦中点为P(x,y),则OP垂直于AB,而AB斜率为k=(y-1)/x
--(1),OP斜率为k'=(y-0)/(x-0)=y/x
--(2);故(1)×(2)得(y-1)/x*y/x=-1
-->
x^2+(y-1/2)=(1/2)^2.即AB中点轨迹是圆心为(0,1/2)、半径为1/2的圆。