Question

如图,已知抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8)

如图,已知抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8).(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交X轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点B作X轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点。试探究:抛物线向上最多可平移多少各单位长度？向下最多平移多少个单位长度？

Answer 1

由A、B两点可知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线的方程式为y=a(x-1)^2+b，代入B、C坐标可解得a=-1,b=9,抛物线解析式为y=-(x-1)^2+9=-x^2+2x+8,顶点D的坐标为（1，9）

由C、D坐标可求出直线CD的解析式为x-y+8=0，线段OB的垂直平分线为x=2,设存在P(2,m)令P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离，
那么有√(4+m^2)=|2-m+8|/√2，m^2+20m-92=0,解得m=-10±8√3

形如y=a(x+b)^2+c的抛物线沿其对称轴平移时,a与b均不变，只有c变
可得到F(4,12),抛物线最多可向下平移到与直线CD:y=x+8相切为止，此时两者只有一个交点，联立y=-(x-1)^2+b与y=x+8消去y,得到x^2-x+9-b=0只有一个根，求出b=9-1/4=35/4，向下最多平移四分之一个单位长度
向上平移最多可至抛物线过E点，即(-8,0)在y=-(x-1)^2+b上，解得b=81，向上最多可平移(81-9=)72个单位长度

Answer 2

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x-4），
把C（0，8）代入得a=-1，
∴y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，顶点D（1，9），
答：抛物线的解析式是：y=-x2+2x+8，顶点D的坐标是（1，9）．

（2解：直线CD的解析式为：y=x+8，
当y=0时，x=-8，
当x=4时，y=12，
∴E（-8，0），F（4，12）．
抛物线向上平移，可设解析式为y=-x2+2x+8+m（m＞0）．
当x=-8时，y=-72+m，
当x=4时，y=m，
∴-72+m≤0或m≤12，
∴0＜m≤72．
∴向上最多可平移72个单位长，
答：抛物线向上最多可平移72个单位长度．