Question

一道超难的题目……初二数学。

a,b,c为实数，ac＜0,且(根号2)×a+(根号3)×b+(根号5)×c＝0，证明一元二次方程ax^2+bx+c＝0有大于(根号3/5)而小于1的根.

Answer 1

(√2)×a+(√3)×b+(√5)×c＝0
(√2/5)×a+(√3/5)×b+c＝0
令f(x)=ax^2+bx+c
f(√3/5)=3/5*a+√3/5*b+c=(3/5-√2/5)*a
3/5=√9/25<√10/25=√2/√5

(√2)×a+(√3)×b+(√5)×c＝0
(√2/√3)×a+b+(√5/√3)×c＝0
f(1)=a+b+c=（1-√2/√3）*a+(1-√5/√3)
f(1)*f(√3/5)=(3/5-√2/5)（1-√2/3）*a^2+(3/5-√2/5)(1-√5/3)ac
因为1-√2/√3=(√3-√2)/√3>0
且3/5<√2/√5
所以(3/5-√2/5)（1-√2/3）<0
所以(3/5-√2/5)（1-√2/3）*a^2<0
因为3/5=√9/25<√2/5
所以(3/5-√2/5)(1-√5/3)>0
所以(3/5-√2/5)(1-√5/3)ac<0
所以f(1)*f(√3/5)<0
因为f(x)在区间[√3/5，1]内连续，所以方程f(x)=0有在区间内的根。
解答完毕。