Question

高二数学题 在线等 急啊!!!..

证明命题:若p,q∈R,且p^3+q^3<=2 则p+q<=2
利用逆否命题证明的..
大家帮帮忙,谢谢了..

Answer 1

解:原命题等价于其逆否命题"p,q属于R,若p+q>2则p^3+q^3>2"
所以只需证明p,q属于R,若p+q>2则p^3+q^3>2
证明:p^3+q^3=(p+q)*(p^2+q^2-pq){立方和公式}
=(p+q)*[(p+q)^2-3pq]{配方}
=(p+q)^3-3pq(p+q)
>=(p+q)^3-3(p+q)*[(p+q)/2]^2{均值不等式(证明见最下方)}
=(p+q)^3/4
>(2)^3/4{运用条件}
所以原命题:若p,q∈R,且p^3+q^3<=2 则p+q<=2 成立

均值不等式证明
(p-q)*(p-q)>=0
所以p^2-2pq+q^2>=0
所以p^2+q^2+2pq>=4pq{两边同时加6pq}
所以(p+q)^2>=4ab{同时乘负号得到上面过程所用的不等式}