Question

一道高二数学题，请大家帮帮忙，写出详细的过程啊，谢谢了

已知直线L：2mx-y-8m-3=0和圆C:x^2+y^2-6x+12y+20=0
(1)试证：不论m为何实数，直线L与圆C总相交
(2)m为何值时，L被圆C截得的弦长最小？并求出这个最小值。

Answer 1

解:
(1)
2mx-y-8m-3=0
2m(x-4)-y-3=0

由题目易知,直线l过一定点P(4,-3)
将定点P(4,-3)代入圆方程左式:x^2+y^2-6x+12y+20中,得
4^2+(-3)^2-6*4+12*(-3)+20 = -15 < 0
说明定点P(4,-3)在圆C内部.
所以,不论m为何实数，直线l与圆总相交。
证毕.

2.将圆方程化为标准形式得:
(x-3)^2 + (y+6)^2 = 5^2
易知,圆心为O(3,-6),半径为r＝5
要使截得的弦长最短,根据数形结合,易知,当点P(4,-3)为相交弦中点时所截得弦长最短.
因弦心距|OP| = √[(3-4)^2+(-6+3)^2] = √10
所以所截得最短弦长为 d = 2√(25-10) = 2√15
而此时弦所在的直线斜率为
k = -1/k' = -1/3
即 2m = -1/3
所以m = -1/6

综上,知,m = -1/6时,l被圆C截得弦最小,最小值为2√15

Answer 2

直线经过（4，-3）点，只需证明圆心到该点的距离小于半径即证明直线与圆相交。

弦长最小即即圆心到弦的距离最长，则令该直线和圆心与点（4，-3）的连线垂直即可，之后就可以算出M值。

Answer 3

(1),直线L方程可该写为m(2x-8)-(y+3)=0,由此可知直线必过点(4,-3),而点(4.-3)在圆内,所以直线L必然与圆相交.
(2),过点(4,-3)且过圆心时,被圆C截得的弦最长,过点(4,-3)且与最长弦垂直的那个直线被圆截得的弦最短,弦长最小时,L斜率k=-1/[(-3-(-6))/(4-3)]=-1/3,即2m=-1/3,m=-1/6
设点(4,-3)到圆心的长为n,半径为r,则弦长最小值h为:
h=[4(r+n)(r-n)]^(1/2)=2(r^2-n^2)^(1/2)=2[25-(4-3)^2-(-3+6)^2]^1/2