Question

跪求高数高手可降阶的二阶微分方程 y’’=f(x,y’)型的微分方程

y’’(1+e^x)+y’=0
(1+x^2)y’’+2xy’=x^3
麻烦求一下上面两个的 通解 有个答案即可 我只是对一下

有心人 写一点过程也行,不过太长了 还是给个答案实际 给个答案发现不对 我们再讨论

Answer 1

因为：y1，y2，y3线性无关，
所以：y1-y3，y2-y3是线性无关的．
又因为：函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的解，
所以：c1（y1-y3）+c2（y2-y3）是y″+p（x）y′+q（x）y=0的通解，
根据二阶线性非齐次微分方程的结构可知：
c1（y1-y3）+c2（y2-y3）+y3=c1y1+c2y2+（1-c1-c2）y3是y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）的通解
故该非齐次方程的通解是c1y1+c2y2+（1-c1-c2）y3
其中c1、c2为任意常数

Answer 2

第1道,设y'=u,则u'(1+e^x)=-u,
解du/u=-dx/(1+e^x)
得lnu=ln(1+e^x)-x+C1,
即u=e^C1(1+e^x)/e^x=e^(C1-x)+e^C1.
所以y=∫udx=[1/(C1-x)]e^(C1-x)+(e^C1)x+C2.
第2道,设y'=u,则u'+2xu/(1+x^2)=x^3/(1+x^2)
积分因子M(x)=1+x^2.
所以(1+x^2)u=∫x^3dx
解得u=[(x^4)/4+C1]/(1+x^2)
故y=∫udx=(x^3)/12-x/4+(C1+1/4)*arctan(x)+C2.

Answer 3

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