Question

初等几何和解析几何到底有什么区别

正在写题为“几何中的极值问题”的论文，老师要求分初等几何和解析几何两部分来写，但却弄不明白这两者的区别。
可以的话也顺便给我举下初等几何的极值问题以及解析几何的极值问题的例子

Answer 1

初等几何主要是用几何的方法来解决问题，主要注重图形；解析几何使用代数的观点来考虑。前者所凭借的一般是图形，以及图形中所产生产生的公理，定理等；而解析几何则将几何问题代数化，主要凭借坐标系将复杂的几何问题转化为单一代数问题。相对来讲，解析几何在今后用到的会多一些。（比如说向量，在高三立体几何，大学多门课程中都会用到。
初等几何极值问题主要有：三角不等式(AB+BC>AC,AB-BC<AC),这个用到的时候会很多，对称转化，线段最短，垂线段最短等也常会用到（主要高中）。现给一个例子：A,B两个村庄，在河岸边建一个水厂，使水厂到两村庄距离最短。（考虑村庄在河的同一侧，还是异侧，用对称来做。
解析几何的极值问题比较复杂，比如圆锥曲线，圆，直线，涉及方面很广泛。比如说圆与直线的交点问题：知道圆的方程，直线的斜率，问你该直线与圆什么时候有1，2，3，4交点?椭圆，双曲线，抛物线等也会涉及很多极值问题。你自己再去找一下吧

Answer 2

解析两个字就是指引入数字的计算，通过数学式来分析解出想要的东西。最常用的就是直角坐标系，比如x2+y2=1就是一个圆的解析方程式。坐标系是笛卡尔发明的，至于好处吗，可想而知了，图形量化、坐标化后。。。
普通几何就是初中开始学的简单的东西那一类，什么圆心角是圆周角二倍啦，总之就是虽然有数量关系，但没有建立坐标系，也没有图形的方程式，也就谈不上解析。

Answer 3

二者的区别主要体现在研究方法的不同上，初等几何和解析几何的研究对象都是一些几何量的大小和位置关系，例如线段长度，夹角大小等，初等几何借助于朴素的方法来讨论问题，即在少数公理的基础上，通过逻辑推理得出很多关于图形的性质（定理），根据这些性质进行计算。然而这种讨论问题的方法具有很高的技巧性，对于复杂的问题往往束手无策。数学家笛卡尔引入（直角）坐标系概念后，每一曲线都对于一代数方程，使得可以用代数的方法来解决几何问题，这就是解析几何的研究方法。此外，解析几何的另一特点是用向量法讨论问题，坐标法和向量法的使用，可以使某些初等几何中困难的问题很容易解决。因此初等几何和解析几何的关系不像平面几何和立体几何那样的，后者是研究的几何对象不同，而前者只是研究方法不同。多说一点，微积分发明后，某些用解析几何也不容易解决的问题（例如求曲线的切线），使用微积分的方法后变得不易，因此称为微分几何。

Answer 4

初等几何主要是二维和三维的欧几里德几何。
或许包括还三角学之类。

射影几何、解析几何的发展虽然也比较早，但一般被看作高等几何。当然也有混淆之处，因为现在中小学中学到的解析几何被认为是初等的，所学的内容主要是古希腊平面、直线和圆锥曲线的经典内容；但历史上解析几何是伴随着变量和微积分工具产生的，因而并不是初等的。以后又出现其他几何分支，如微分几何、代数几何、拓扑学，都不是初等几何了。

Answer 5

一个用坐标系做，一个不用就好了~