Question

帮我解决2道椭圆的题目~~在线等着

题目1：
设椭圆C：x方/a方+y方/2=1（a>0)的左右焦点分别为F1，F2。A是椭圆C上的一点，且AF2向量·F1F2向量=0，坐标原点O到直线AF1的距离为1/3OF1的模。
求椭圆C方程？

题目2：
已知椭圆E的焦点在X轴上，长轴长为4，离心率为根号3/2
椭圆E标准方程为x方/4+y方=1，现已知A（0，1）和直线L：Y=X+M，线段AB是椭圆E的一条弦且直线L垂直平分弦AB，求实数M的值？
谢谢了哈

Answer 1

(1)

向量乘积为0说明两条向量垂直，所以直角三角形AF1F2

设原点O到直线AF1的垂线的垂足为N，设焦距的一半为c,则c=根号下(a^2-b^2)=根号下(a^2-2)，从而求出F1F2=2倍根号下(a^2-2)

将x=根号下(a^2-2)代入椭圆，求出y=2/a或-2/a（都在一个椭圆上，所以正负不重要，反正最后也平方，取哪个点研究都可以）

因为ON=1/3OF1，所以ON=根号下(a^2-2)/3

直角三角形AF1F2，与OF1N相似，用边的关系比列出

NF1/ON=F1F2/AF2=2倍根号3

把每个量代入，最后解出 a^2=4或a^2=-2(舍去)

所以椭圆C的方程为x^2/4+y^2/2=1

(2)

因为直线y=x+m的斜率为1，所以呈45度角上升

经过验证A点在椭圆上

因为直线L垂直于AB，所以AB是个呈45度角下降的状态，且AB必须过A 所以用A坐标和斜率是-1不难求出AB所在直线解析式为 y=-x+1

与椭圆的解析式联立，解得B点坐标为(8/5,-3/5)

中点公式求出AB中点坐标为(4/5,1/5)

将中点带入直线y=x+m

解得m=-3/5