Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得的极大值是5，其导函数y=f(x)的图像经过（1，0）（2，0）

求
(1)x0=?
(2)求a,b,c的值？

RT，要让我看的懂哦，

Answer 1

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx

f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c,

0 = f'(1) = 3a + 2b + c, ...(1)
0 = f'(2) = 12a + 4b + c. ...(2)

因方程有2个不同的根，所以 a 不等于0.

0 = 9a + 2b,
2b = -9a.

f''(x) = 6ax + 2b
f''(1) = 6a + 2b = 6a - 9a = -3a,
f''(2) = 12a + 2b = 12a - 9a = 3a.

若a < 0.
则 f''(2) < 0. f'(2) = 0. f(x) 在 x = 2处达到极大值5。
5 = f(2) = 8a + 4b + 2c. ...(3)

由（1），（2），（3）解得
a = 5/2与a < 0矛盾。

所以，
a > 0.
则 f''(1) < 0. f'(1) = 0. f(x) 在 x = 1处达到极大值5。
5 = f(1) = a + b + c. ...(4)

由（1），（2），（4）解得
a = 2,b = -9, c = 12.

因此，
x0 = 1.