Question

如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE。1）求角CAE的度数

如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE。1）求角CAE的度数。2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形

Answer 1

1）
因△ABC是等边三角形，D是BC中点，则AD也是∠BAC的平分线
则∠CAD=30°
因△ADE是等边三角形
则∠CAE=∠DAE-∠CAD=60°-30°=30°
2）
由题可知，CF是AB的中垂线，于是有∠AFC=90°
又根据1）结果知∠EAF=∠CAF+∠CAE=90°，
则AF⊥AE，AF⊥CF，于是有AE∥CF
又因在等边三角形中，中垂线相等于是有CF=AD
因三角形ADE是等边三角形，于是有CF=AE
则四边形AFCE是矩形

Answer 2

（1）解：∵△ABC是等边三角形，且D是BC中点，∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE=60°；∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；（2）证明：∵△BAC是等边三角形，F是AB中点，∴CF⊥AB；∴∠BFC=90°由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；∴∠FAE=90°；∴AE∥CF；∵△BAC是等边三角形，且AD、CF分别是BC、AB边的中线，∴AD=CF；又AD=AE，∴CF=AE；∴四边形AFCE是平行四边形；∵∠AFC=∠FAE=90°，∴四边形AFCE是矩形．

Answer 3

(1)90度或30度（一种向右边做等边，一种向左边作等边）（2）不好说，要证明2个三角形全等设ac、de交与点g
，那么三角形cdg全等于三角形ceg(边dg=eg,cg=cg,∠cgd=∠cge）所以∠dcg=∠ecg=90度，所以∠ceg=30度所以∠aec=90度，因为角bae=角afc
=90度
所以
是矩形

Answer 4

因为 △ABC为等边三角形，
F为AB的中点
所以 CF垂直于AB
又因为 △ABC为等边三角形
所以 ∠BAC=60°
又因为 ∠CAE=30°
所以 ∠BAE=90°
所以 AE平行于CF
因为 △ADE为等边三角形
所以 AE=AD
又因为 D、F分别为BC、AB的中点
所以 AD=CF
所以 CF=AE
因为 CF=AE且AE平行于CF
所以 四边形AFCE为平行四边形
又因为∠BAE=90°
所以 平行四边形AFCE为矩形