Question

已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0）的两个焦点分别为F1(-1,0)，F2(1,

0），且椭圆C经过点P（4/3,1/3）。（2）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M、N两点，点Q是线段MN上的点，且2/|AQ|²=1/|AM|²+1/|AN|²，求点Q的轨迹方程。

Answer 1

（1）设F（C，0），当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，O到l的距离为c／√2，故c／√2＝√2／2，c＝1由离心率＝c／a＝√3／3，a＝√3，b＝√a²－c²＝√2

（2）若椭圆C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有→OP（向量OP的意思）＝→OA＋→OB成立，由（1）知椭圆c的方程为2х²＋3у²＝6，设A（x₁，у₁﹚，B（х₂，у₂）①当l垂直于x轴时有→OA＋→OB＝（2，0），知椭圆C上不存在点P，使→OP＝→OA＋→OB成立。②当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝k（x－1），代入已知椭圆方程得（2＋3k²）х²－6k²x＋3k²－6＝0，结合已知和韦达定理知P点坐标为（x₁＋x ₂，у₁＋у₂，满足椭圆方程，由y1＝k（xl－1）y2＝k（x2－1）带入椭圆方程，解得k²＝2当k＝－√2时P＝（3／2，√2／2）直线l的方程为√2х＋у－√2＝0当k＝√2时P＝（3／2，－√2／2）直线l的方程为√2х－у－√2＝0综上所述，当P取（3／2，±√2／2）时可成立，直线方程为√2x±y－√2＝0