Question

二重积分怎么计算？

二重积分例子：ff（x+y)dxdy D:X大于等于0小于等于1 y大于等于1小于等于2

Answer 1

换元：x=rcosθ,y=rsinθ,J=r,
原式=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,acosθ>a^*rdr/√(a^-r^)
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*[-√(a^-r^)]|<0,acosθ>
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*|a|[1-|sinθ|]
=2a^*|a|∫<0,π/2>(1-sinθ)dθ
=2a^*|a|(θ+cosθ)|<0,π/2>
=2a^*|a|(π/2-1).

Answer 2

如果只学到定积分，要理解二重积分还有很多要学。首先空间解析几何、向量代数、多元函数极限、连续、微分等等。不过求二重积分是化为二次定积分求得的。

Answer 3

∫(-1→2)dx∫(x²-2→x²+1)x(x²－y)dy
＝∫(-1→2)dx∫(x²-2→x²+1)(x³－xy)dy
＝∫(-1→2)(x³y－½xy²)|(y=x²-2→x²+1)dx
＝∫(-1→2)[x³(x²+1)－½x(x²+1)²]－[x³(x²－2)－½x(x²－2)²]dx
＝∫(-1→2)[(x^5＋x³－½x^5－x³－½x)－(x^5－2x³－½x^5＋4x³－4x)]dx
＝∫(-1→2)[－2x³＋(7/2)x]dx
＝[－½x^4＋(7/4)x²]|(x=-1→2)
＝[－½×16＋(7/4)×4]－[－½×1＋(7/4)×1]
＝(－8＋7)－(5/4)
＝－9/4

Answer 4

体积=∫(0,1)dz∫∫Dzdxdy
其中Dz：9x²+y²≤z
原式=∫(0,1)π×1/3×z dz
=π/6 z²|（0，1）
=π/6

Answer 5

r1 对应圆弧，所以 r1=2 ，
r2 对应的是 y=2 这条直线，写成极坐标就是 r*sin(θ)=2 ，所以 r=2/sin(θ)