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二重积分怎么计算?
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换元:x=rcosθ,y=rsinθ,J=r,
原式=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,acosθ>a^*rdr/√(a^-r^)
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*[-√(a^-r^)]|<0,acosθ>
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*|a|[1-|sinθ|]
=2a^*|a|∫<0,π/2>(1-sinθ)dθ
=2a^*|a|(θ+cosθ)|<0,π/2>
=2a^*|a|(π/2-1).
原式=∫<-π/2,π/2>dθ∫<0,acosθ>a^*rdr/√(a^-r^)
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*[-√(a^-r^)]|<0,acosθ>
=a^∫<-π/2,π/2>dθ*|a|[1-|sinθ|]
=2a^*|a|∫<0,π/2>(1-sinθ)dθ
=2a^*|a|(θ+cosθ)|<0,π/2>
=2a^*|a|(π/2-1).
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如果只学到定积分,要理解二重积分还有很多要学。首先空间解析几何、向量代数、多元函数极限、连续、微分等等。不过求二重积分是化为二次定积分求得的。
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∫(-1→2)dx∫(x²-2→x²+1)x(x²-y)dy
=∫(-1→2)dx∫(x²-2→x²+1)(x³-xy)dy
=∫(-1→2)(x³y-½xy²)|(y=x²-2→x²+1)dx
=∫(-1→2)[x³(x²+1)-½x(x²+1)²]-[x³(x²-2)-½x(x²-2)²]dx
=∫(-1→2)[(x^5+x³-½x^5-x³-½x)-(x^5-2x³-½x^5+4x³-4x)]dx
=∫(-1→2)[-2x³+(7/2)x]dx
=[-½x^4+(7/4)x²]|(x=-1→2)
=[-½×16+(7/4)×4]-[-½×1+(7/4)×1]
=(-8+7)-(5/4)
=-9/4
=∫(-1→2)dx∫(x²-2→x²+1)(x³-xy)dy
=∫(-1→2)(x³y-½xy²)|(y=x²-2→x²+1)dx
=∫(-1→2)[x³(x²+1)-½x(x²+1)²]-[x³(x²-2)-½x(x²-2)²]dx
=∫(-1→2)[(x^5+x³-½x^5-x³-½x)-(x^5-2x³-½x^5+4x³-4x)]dx
=∫(-1→2)[-2x³+(7/2)x]dx
=[-½x^4+(7/4)x²]|(x=-1→2)
=[-½×16+(7/4)×4]-[-½×1+(7/4)×1]
=(-8+7)-(5/4)
=-9/4
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体积=∫(0,1)dz∫∫Dzdxdy
其中Dz:9x²+y²≤z
原式=∫(0,1)π×1/3×z dz
=π/6 z²|(0,1)
=π/6
其中Dz:9x²+y²≤z
原式=∫(0,1)π×1/3×z dz
=π/6 z²|(0,1)
=π/6
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r1 对应圆弧,所以 r1=2 ,
r2 对应的是 y=2 这条直线,写成极坐标就是 r*sin(θ)=2 ,所以 r=2/sin(θ)
r2 对应的是 y=2 这条直线,写成极坐标就是 r*sin(θ)=2 ,所以 r=2/sin(θ)
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