Question

急！如图，四边形ABCD内接于圆O，BD是圆O的直径，AE垂直于CD，垂足为E，DA平分角BDE,

急！如图，四边形ABCD内接于圆O，BD是圆O的直径，AE垂直于CD，垂足为E，DA平分角BDE,若AE=2,DE=1,求CD的长。(最好今天发给我！)

Answer 1

提示：
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90º，
又AE⊥CD，
∴∠ACD＝90º，
又DA平分∠BDE，
∴∠ADC＝∠BDA，
∴⊿ADC∽⊿BDA，
∴ED／EA＝AD／AB，
根据已知条件可计算出：
AD＝√5，AB＝2√5；
过A作AF⊥BC，F为垂足，
不难证明⊿ABF∽⊿ADE，
从而求得AF＝4，
∴EC＝4，
∴CD＝3。

追问

我们还没学相似啊

有其他方法吗？

追答

巳经是“圆”了，还未学“相似形”？

Answer 2

不用相似三角形的解法：
解：过A作AF⊥BC交BC于F，连接AC
∵四边形ABCD内接于圆O，BD是圆O的直径
∴∠BAD=∠BCD=90°
∵AE⊥CD，AF⊥BC
∴四边形AFCE是矩形，CF=AE=2
∵DA平分∠BDE
∴∠BDA=∠ADE
∵∠BDA和∠BCA同弧AB
∴∠BDA=∠ACB
∵四边形ABCD内接于圆O
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ADE+∠ADC=180°
∴∠ABC=∠ADE，即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形，AB=AC
∵AF⊥BC
∴BC=2CF=4
∵根据勾股定理：AD^2=AE^2+DE^2=2^2+1^2=5
AB^2=AC^2=CE^2+AE^2=(CD+1)^2+4
而BD^2=AB^2+AD^2=(CD+1)^2+4+5=(CD+1)^2+9
BD^2=BC^2+CD^2=16+CD^2
∴(CD+1)^2+9=16+CD^2
解得CD=3

追问

谢谢