Question

一道九年级数学题（共3问）

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Answer 1

答：
1）抛物线y=ax²-4ax+b交于点A（1,0），代入：
a-4a+b=0，b=3a
y=ax²-4ax+3a=a(x-1)(x-3)
所以：点B为（3,0）
所以：AB=2
S三角形ABC=AB*点C到x轴距离 /2=3
所以：2*y=6，y=3
所以：点C为（0,3）
代入得：0+0+3a=3
解得：a=1
所以：抛物线为y=x²-4x+3
2）
点F（m，2m-5）在直线y=2x-5上
与抛物线在第一象限的交点F（4,3）
CF直线：y=3
AF直线：y=x-1
圆K到CF和AF都只有一个公共点，则都是圆K的切线
点K（k，0）到切线距离d=R=3
所以：d=|k-0-1|/√2=R=3
解得：k=1-3√2
所以：点K为（1-3√2,0）
3）

PM=PA=PC

则点M、A和C都在圆P上

所以：点P在AC的垂直平分线上

AC直线y=-3x+3

AC中垂线y=x/3+4/3

与抛物线联立求得点P横坐标x=(13+√109)/6

因为：点P在AM的中垂线上

所以：点M的横坐标满足：(m+1)/2=(13+√109)/6

解得：m=(10+√109)/3

所以：点M为（(10+√109)/3,0）

Answer 2

解：
（1）
由 y = ax²-4ax+b，可得 y = a(x-2)² +b-4a
所以它的对称轴是 x = 2
因为 A点的坐标是 A（1，0），可得 B点的坐标是 B（3，0）
设C点的坐标是（0，n），由 SΔABC = 3
可得 (3-1)n /2 = 3
所以 n = 3
即 C点的坐标是（0，3）
把 A点和C点的坐标代入 y = ax²-4ax+b，得
｛ -3a+b =0
｛ b = 3
解得 a =1，b =3
所以抛物线的解析式是 y = x²-4x +3
（2）
把 F（m，2m-5）坐标值代入抛物线，得 2m-5 = m²-4m+3
即 m²-6m+8 =0
解得 m = 2，m= 4，课的 F点的 坐标可能是（2，-1）或（4，3）
依题意，F点在第一象限，所以为 F（4，3）
由此可得直线 CF为 y=3，直线 AF 为 y=x-1 或 x-y-1 =0
因为 CF 平行于 x轴，它与圆K只有一个公共点，即与圆K相切，而圆K的圆心在 x 轴上
所以圆K的半径等于 CF与 x轴的距离，即半径为 3
同理，圆K与AF也是相切，即K点与AF的距离也是 3
设K点的坐标是（k，0），则 | k-1 | / √2 =3
即
k-1 = 3√2 或 1-k =3√2
依题意，k<0，所以，k =1-3√2
即 K点坐标为 K（1-3√2，0）
（3）
设P点坐标是 P（x，y）
则 PA = √[(x-1)²+y²]，PC = √[(x²+(y-3)]
可得 √[(x-1)²+y²] = √[(x²+(y-3)²]
即 x²+y²-2x+1 = x²+y²-6y+9
得 y = (x+4)/3
代入 y = x²-4x +3，得 x+4 = 3x²-12x +9
即 3x²-13x +5 =0
解得 x = (13±√(109)) /6
所以 M点的 x坐标是 2(13±√(109)) /6 -1 = (10±√(109)) /3
取正值，得 M点的坐标是 M（ (10+√(109)) /3，0）

　
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Answer 3

解:1.。。因为对称轴为x=4a/2a=2，A的坐标(1,0),
所以B坐标为(3,0) 。由S△ABC=3,所以C(0,3)抛物线为y=x^2-4x+3
2.。。点F（m，2m-5）在直线y=2x-5上
与抛物线交点F为（4,3）
CF：y=3
AF：y=x-1
圆K到CF和AF都只有一个公共点，则都是圆K的切线
所以点K到切线距离=|k-0-1|/√2=3
解得：k=1-3√2
所以：点K为（1-3√2,0）
3.。。设P（p,q）,则PA=PC，（p-1）^2+q ^2=p^2+(q-3) ^2
q=p^2-4p+3
解得p=（13+√109）/6
则点P在AM的中垂线上
M（（10+√109）/3，0）