Question

x+1 x∧2+x+1 x∧3+x∧2+x+1 x∧4+x∧3+x∧2+x+1 分解因式 不能,说明理由

如题目
第三个，第四个知道结果，重点是第一个和第二个怎么证明不能

Answer 1

答：

1）
x+1不能分解，因为是x的最低次项了
如果能分解因式，至少存在两个零点，
而x+1仅有一个零点。

2）
x∧2+x+1
=x^2+2*(1/2)x+1/4+3/4
=(x+1/2)^2+3/4
在实数范围内不能分解，因为多项式恒大于0

3）
x∧3+x∧2+x+1
=(x+1)x^2+(x+1)
=(x+1)(x^2+1)

4）
x∧4+x∧3+x∧2+x+1
x=0时，等式为1
x≠0时，为首项1，公比为x的等差数列
所以：
x∧4+x∧3+x∧2+x+1
=1*(x^5-1)/(x-1)
=(x^5-1)/(x-1)
≠0
所以：在实数范围内不能因式分解

追问

第四个是可以分解的
x^4+x^3+x^2+x+1
=x^2[x^2+x+1+1/x+1/x^2]
=x^2[(x+1/x)^2+(x+1/x)-1]
=x^2[(x+1/x)^2+(x+1/x)+1/4-5/4]
=x^2[(x+1/x+1/2)^2-5/4]
=x^2(x+1/x+1/2-√5/2）(x+1/x+1/2+√5/2）
=(x^2+1+x/2-√5x/2）(x^2+1+x/2+√5x/2）

追答

下面是第四个的图像，恒大于0，在实数范围内没有零点，不能分解