Question

在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，CD是中线，CE是高，且AC的平方=3BC的平方，求证CD

在Rt三角形ABC中，角ACB=90度，CD是中线，CE是高，且AC的平方=3BC的平方，求证CD，CE三等分角ACB。

Answer 1

在直角三角形ABC中，，AB的平方=AC的平方+BC的平方(勾股定理）
因为：AC的平方=3BC的平方
所以：AB的平方=3BC的平方+BC的平方
AB的平方=4BC的平方
AB=2BC
BC=1/2AB
因为CD是中线,CD=AD=BD(在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）
所以BC=CD=BD
所以 角B=角BDC=角DCB=60度（等边三角形）

在直角三角形 CDE中，因为 角D=60度，所以角DCE=90度-60度=30度
所以角ECB=角DCB-角DCE=60度-30度=30度
角ACD=角ACB-角DCB=90度-60度=30度

角DCE=角ECB=角ACD=30度，
所以 CD，CE三等分角ACB。

Answer 2

AC^2=3*BC^2,ctg角A=根号3，角A=30度，角B=60度，AB=2BC
CE垂直于AB，角ECB=30度,BE=0.5BC
D是AB中点，DB=0.5AB=BC,DE=BD-BE=0.5BC,角DCE=30度
角ACB=90度，角ACD=角ACB-角BCE-角DCE=90-30-30=30度
角ACD=角DCE=角ECB=30度，即CD CE三等分角ACB