Question

求一道高中数学奥数题,大神请进!

空间中有一点“T”，从T放射出四条线段 TA、 TB、 TC、 TD 。 　　已知 TA=a米、TB=b米、TC=c米、TD=d米；a、b、c、d＞0米。 　　请问：1、四面体ABCD 体积的最大值是多少？ 　　2、四面体ABCD 表面积的最大值是多少？ 请大神解答,

Answer 1

解：(1)当T在四面体ABCD内，四条线段 TA、 TB、 TC、 TD 两两相互垂直时，四面体ABCD 体积的最大，其体积最大值V=1/3*1/2abc+1/3*1/2abd+1/3*1/2acd+1/3*1/2bcd=1/6(abc+abd+acd+bcd)。
（2）根据(1)的结论，TD⊥平面TBC，过T作TM⊥BC于M，连DM，则BC⊥平面TMD，所以BC⊥MD。因BC*TM=bc,BC=√(b^2+c^2),所以TM=bc/√(b^2+c^2)，所以DM=√(b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)/√(b^2+c^2)，所以ΔBCD的面积S1=MD/TM*1/2bc=1/2√(b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)。同理可求得ΔABC的面积S2=1/2√(b^2c^2+b^2a^2b^2+a^2c^2),ΔABD的面积S3=1/2√(b^2d^2+b^2a^2b^2+a^2d^2),ΔACD的面积S4=1/2√(a^2c^2+a^2d^2b^2+c^2d^2)。所以四面体ABCD 表面积的最大值S=S1+S2+S3+S4=1/2（√(b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2+√(b^2c^2+b^2a^2b^2+a^2c^2)+√(b^2d^2+b^2a^2b^2+a^2d^2)+√(a^2c^2+a^2d^2b^2+c^2d^2)）。