Question

已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)

且对于任意m，n∈D，均有f(m/n)=f(m)-f(n)，且当m＞1时，f(m)＞0；
(1)求f(1)与f(-1)的值。
(2)判断函数的奇偶性并证明。
(3)求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数。
(4)若f(3)=1，解不等式f(2x+1)≤1。

Answer 1

第一问
f(m/n)=f(m)-f(n)
f(1/1)=f(1)-f(1)
f(1)=0
f(1/(-1))=f(1)-f(-1)
f(-1)=0-f(-1)
2f(-1)=0
f(-1)=0
(2)
f(x)是奇函数
证明
设m=-n，m/n=-1
f(m/n)=f(m)-f(n)
f(-1)=f(-n)-f(n)=0
f(-n)=-f(n)
∴f(x)是奇函数
(3)
设m>n>0，m/n>1，f(m/n)>0
f(m/n)=f(m)-f(n)>0
f(m)>f(n)
∴f(x)在x>0时是增函数
(4)
根据上述(3)知道奇函数f(x)的两个分支都是增函数
f(-1)=f(1)=0，f(3)=1
f(1/3)=f(1)-f(3)=0-1=-1=-f(-1/3)
∴f(-1/3)=1
∴f(2x+1)<=1=f(3)=f(-1/3)
∴0<2x+1<=3或2x+1<=-1/3
∴-1/2<x<=1或x<=-2/3
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