Question

已知关于x的一元二次方程x^2-(2k+1)x+k^2+k=0

若周长为16的等腰三角形ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根，求k的值。。。
给过程和答案

Answer 1

解由一元二次方程x^2-(2k+1)x+k^2+k=0的
Δ=（2k+1）^2-4(k^2+k）
=4k^2+4k+1-4k^2-4k
=1＞0
即Δ＞0
即方程有两个不相等实数根
故AB≠AC

又由x^2-(2k+1)x+k^2+k=0
得（x-k-1）（x-k）=0
解得x=k+1或x=k
又由等腰三角形ABC的周长为16

则2（k+1）+k=16或k+1+2k=16
解得k=14/3或k=5.

Answer 2

∵x^2-(2k 1)x k（k 1）=0
∴﹙x－k﹚[x－﹙k＋1﹚]＝0
∴x1＝k,x2＝k＋1
∴AB＝k,AC＝k＋1(不妨设AB＜AC)
⑴若三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形，则BC²＝AB²＋AC²
∴5²＝k²＋﹙k＋1﹚²＝2k²＋2k＋1即k²＋k－12＝0
解得k＝3或k＝﹣4（舍去）
∴k＝3时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形；
⑵若AB=BC=5，则k＝5,等腰△ABC的周长＝5＋6＋5＝16；
若AC=BC=5，则k＝4,等腰△ABC的周长＝周长＝4＋5＋5＝14；

Answer 3

方程分解为(x-k)(x-k-1)=0
得x1=k, x2=k+1
若三边为k, k, k+1,则周长=16=3k+1,得k=5
若三边为k,k+1,k+1,则周长=16=3k+2,得k=14/3
所以k=5或14/3