Question

设函数f(x)=xxx-3ax+b(a不等于0)

1)若曲线y=f(x)在点(2，f(x))处与直线y=3x+1相切,求a,b的值(2)，求函数f(x)的单调区间与极值点

Answer 1

答：
f(x)=x^3-3ax+b
求导：f'(x)=3x^2-3a
1）
点（2，f(x)）处与直线y=3x+1相切
则x=2，y=f(x)=3*2+1=7，y'=f'(x)=3
所以：
f(2)=8-6a+b=7
f'(2)=12-3a=3
解得：a=3，b=17
2）
f(x)=x^3-9x+17
f'(x)=3x^2-9
解f'(x)=0得：x1=-√3，x2=√3
x<-√3或者x>√3时，f'(x)>0，f(x)单调递增
-√3<x<√3时，f'(x)<0，f(x)单调递减
单调递增区间为（-∞，-√3]或者[√3，+∞)
单调递减区间[-√3,√3]
极大值f(-√3)=-3√3+9√3+17=17+6√3
极小值f(√3)=3√3-9√3+17=17-6√3