Question

求方程x^2+y^2+z^2=2008的所有 正整数 解

求方程x^2+y^2+z^2=2008的所有 正整数 解 请认真思考再答，谢谢！

Answer 1

x^2+y^2+z^2=2008 若有一个为奇数，则其余两个的平方和为4k+3型，这是不可能的，因此全部都是偶数。 令x=2a，y=2b，z=2c，则 a^2+b^2+c^2=502， 不妨设a<=b<=c，则 a<=sqrt(502/3)， 所以1<=a<=12。 （1）a=1 b^2+c^2=501=3*167，都是4k+3型素因数，无解。 （2）a=2 b^2+c^2=498=2*3*83，3是4k+3型素因数，并且次数是1，无解。 （3）a=3 b^2+c^2=493=17*29，17=4^2+1^2，29=5^2+2^2，(4+i)(5+2i)=18+13i，(4+i)(5-2i)=22-3i，有解b=3，c=22和b=13，c=18。 （4）a=4 b^2+c^2=486=2*243，243是4k+3型素因数，并且次数是1，无解。 （5）a=5 b^2+c^2=477=3^2*53，53=7^2+2^2，有解b=6，c=21。 （6）a=6 b^2+c^2=466=2*233，2=1^2+1^1，233=13^2+8^2，(1+i)(13+8i)=5+21i，有解b=5，c=21，但不满足a<=b<=c的条件。 （7）a=7 b^2+c^2=453=3*151，都是4k+3型素因数，并且次数是1，无解。 （8）a=8 b^2+c^2=438=2*219，216是4k+3型素因数，并且次数是1，无解。 （9）a=9 b^2+c^2=421=14^2+15^2，有解b=14，c=15。 （10）a=10 b^2+c^2=402=2*3*67，3和67都是4k+3型素因数，并且次数是1，无解。 （11）a=11 b^2+c^2=381=3*127，3和127都是4k+3型素因数，并且次数是1，无解。 （12）a=12 b^2+c^2=358=2*179，3和179都是4k+3型素因数，并且次数是1，无解。 综合上述12种情况，得到满足x<=y<=z的全部正整数解为(6,6,44)，(6,26,36)，(10,12,42)，(18,24,30)。